Se suele afirmar que la geometría de Euclides es la geometría de la regla y el compás.
Los famosos postulados de Euclides reflejan, efectivamente, el uso de estos dos instrumentos. Tenemos por ejemplo que "dados dos puntos podemos trazar una línea recta por ellos dos" (Postulado 1) y que "podemos trazar una circunferencia con centro en un punto fijo dado y con radio una distancia fija." (Postulado 3). Estas son precisamente acciones que podemos realizar con regla y compás.
Como bien sintetiza el siguiente video, hay una cantidad de construcciones que podemos realizar mediante estos instrumentos.
Sin embargo hay tres que permanecieron durante siglos como los máximos enigmas de la geometría. Como la mayoría de los grandes problemas matemáticos, estos son muy fáciles de enunciar:
(1) La duplicación del cubo. Hemos vuelto varias veces sobre el problema que Sócrates pone y afronta en el Menón de construir un cuadrado con el doble de área de un cuadrado dado. Vimos cómo este problema es generalizable y podemos construir un cuadrado con un área n veces mayor del cuadrado dado para cualquier n. Podemos pensar en la adaptación de este problema plano a tres dimensiones. Dado un cubo, construír un cubo con el doble de volumen. Este problema tuvo para los griegos además una connotación religiosa: Apolo mismo pidió que en su templo en Delos le fuera construido un altar el doble de grande del altar cúbico que tenía. Es por esto que este es conocido como el "problema délico". No fue posible construir (con regla y compás) dicho altar doble y el problema quedó abierto por toda la antigüedad.
(2) La trisección del ángulo. Es muy sencillo con regla y compás bisecar cualquier ángulo dado. Sin embargo quedó abierto el problema, para todos los geómetras griegos, de trisecar un ángulo dado arbitrario. Nunca fue posible encontrar dicha construcción, por sencillo que sea el enunciado del problema.
(3) La cuadratura del círculo. Vimos cómo la geometría euclidiana versa en buena medida sobre el problema de encontrar figuras equivalentes desde el punto de vista del área. En particular, vimos por ejemplo que dada una figura poligonal arbitraria es posible construir un cuadrado con la misma área. Ahora, ¿es posible, dado un círculo, encontrar un cuadrado con su misma área? De nuevo, no fue posible para los geómetras encontrar una solución a este problema usando regla y compás.
Es importante anotar que no se encontró la solución a estos tres problemas siempre y cuando los medios de construcción fueran la regla y el compás. Hubo matemáticos griegos que lograron resolver estos problemas pero recurriendo a otros instrumentos u objetos matemáticos.
Los intentos de Leonardo
Estos problemas siguieron abiertos durante siglos. No es de extrañar que un espíritu curioso como Leonardo intentara afrontarlos por sus propios medios. Encontramos algunas notas, algo confusas y desordenadas, como suelen ser sus cuadernos, pero que nos permiten ver el trabajo del autor en proceso y sin lograr resolver los problemas. Tenemos por ejemplo, respecto al problema de la duplicación del cubo, que Leonardo conjetura: si la diagonal de un cuadrado de lado 1 es la manera de duplicar el área del cuadrado, ¿será la diagonal de un cubo de lado 1 la respuesta gráfica al problema de la duplicación del cubo?
Las analogías con el caso bidimensional, llevan a Leonardo a preguntarse por posibles soluciones (enteras) de lo que hoy reconocemos como el Último Teorema de Fermat, es decir, por buscar en este caso dos cubos cuya suma sea otro cubo. Este problema, de extrema dificultad, fue resuelto solo en 1993 por Andrew Wiles.
Tenemos también aproximaciones al problema de hallar la raiz cúbica de 2. Un valor generalmente utilizado era el de 5/4, como en la siguiente figura (Duvernoy, 2008):
Las siguientes son ilustraciones de una solución debida a Apolonio sobre el problema:
Pasando a otro problema, vemos que Leonardo, como tantos otros "cuadradores" a lo largo de la historia, creyó encontrar una solución al famoso problema de la cuadratura del círculo: "Finalmente encontré la cuadratura del círculo; y mientras se iba acabando la luz de la vela y la noche y el papel en que escribí, se completó; al final de la hora." (Duvernoy, 2008). Vemos aquí diversos intentos de aproximación al problema:
Resultados limitativos
Al igual que como vimos respecto al descubrimiento de los irracionales, la historia de estos tres problemas conduce a resultados inesperados y que son característicos de la más alta matemática: primero se plantea un problema dentro de determinado ámbito o círculo de resolución: el mundo accesible es concebido a partir determinadas herramientas, técnicas o sistemas. Pero luego se plantea algo que esta más allá de dichas operaciones inicialmente planteadas. Entonces, saliendo de este mundo conocido, es posible ver, demostrar la imposibilidad de alcanzar eso que se buscaba. Llegamos a un resultado limitativo: después de un intento reiterado e infructuoso por alcanzar algo desde el interior del círculo, se sale "del otro lado" y desde el exterior es posible ver desde otro nivel aquello que no era posible lograr.
En nuestro caso se requieren cambios sustanciales para lograr el cambio de perspectiva. Fue fundamental para ello el desarrollo del álgebra, y que la geometría fuera abordada con este instrumentario. Es entonces posible ver que las construcciones con regla y compás corresponden de manera precisa a la solución de ciertas ecuaciones algebraicas. Por otra parte, se demuestra también que la resolución de las construcciones de los tres problemas corresponden a ecuaciones que no son del tipo anteriormente establecido.
Todo esto se obtuvo por el desarrollo, no solamente del formalismo algebraico, sino por la invención de estructuras abstractas (teoría de grupos, teoría de cuerpos), que permiten determinar cuándo un número es o no raíz de una determinada clase de ecuaciones (que en este caso es infinita).
En resumen, la matemática, a partir de cierto nivel de desarrollo, se ocupa no solamente del aspecto positivo de buscar técnicas, algoritmos, procedimientos para alcanzar resultados, sino que busca también, desde lo negativo, técnicas que permitan también ver la contraparte, que permitan delimitar el mundo desde fuera de manera precisa y mostrar aquello que inevitablemente se nos escapa.
Los siguientes son ejemplos de resultados de este estilo:
- Lo no construíble: como el caso que nos ocupa en Geometría, podemos ver que no es posible, mediante un número finito de pasos de determinadas características, llegar a ciertas construcciones.
- Lo no resoluble: es el caso del Álgebra, en que se puede demostrar la imposibilidad de dar fórmulas de resolución general para ecuaciones superiores a grado quinto.
- Lo no demostrable: los fenómenos de incompletitud nos ponen de frente a la imposibilidad de capturar con determinados sistemas axiomáticos la totalidad de la verdad referente a determinados ámbitos de la matemática.
- Lo no computable: dada, por ejemplo, una máquina de Turing, ¿qué es posible calcular o computar mediante ella? de nuevo, estamos frente a la posibilidad/imposibilidad de poder determinar un algoritmo que cumpla determinada tarea. Por ejemplo, tenemos la imposibilidad de poder decidir en general si una ecuación diofántica tiene soluciones enteras (Matiyasevich, 1970)
Bibliografía
Courant, R., & Robbins, H. (1941). What is mathematics?
Duvernoy, S. (2008). Leonardo and theoretical mathematics. Nexus Network Journal, 10(1), 39-49.
Kline, Morris. El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días. Alianza editorial, 2012.
Zellini, P. (2021). Gnomon: una indagine sul numero. Adelphi Edizioni.
Figuras y ojetos “imposibles” Mientras leía esta entrada, pensé en las llamadas figuras u objetos “imposibles”, y al respecto me surgieron varias preguntas:
¿Qué implicaciones tiene para el pensamiento geométrico la constatación de las llamadas “figuras imposibles”?
Resulta de algún interés teórico para la perspectiva la posibilidad de “figuras imposibles”?
¿Qué lectura podríamos hacer de nuestra época y de nuestra cultura apartir del hecho de que las “figuras imposibles” hayan consolidado casi una “vertiente” artística? ¿Podrían ser estas consideradas un signo de la llamada “era del vacío”, como la denominó Lipovetsky.
Como comentario al margen, sería fascinante encontrar en este blog una entrada didicada a analizar aquellas figuras extravagantes y su relación con las geometrías no euclidianas, como la geometría esférica,…
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Quisiera pensar el asunto de las matemáticas como una herramienta, de entrada diciendo que valdría la pena cuestionar esa perspectiva, intentaré decir por qué. La herramientas se usan, parten del paradigma, muy griego, del esclavo, de hecho la teché, gracias a Aristóteles durante mucho tiempo se entendió como herramienta. Pienso que las matemáticas, insisto, son pensamiento en movimiento (asunto que por otro lado es anti-platónico), es decir, van mostrando los límites del pensamiento, por ende los límites de lo pensable. Entonces, no es que las matemáticas se usen sino más bien son un ejercicio que lleva el pensamiento hasta sus límites, y no se usan porque no son esclavos que hacen el trabajo, más bien, si no nos ejercitamos en…
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