Apuntes sobre el Timeo (1)

El Timeo es sin duda uno de los diálogos más influyentes de Platón: es aquel sobre el que hubo más comentarios en la antigüedad, que fue tomado como referente doctrinal en la Academia y en el neoplatonismo y que fue también recogido por su relato cosmogónico por la tradición bíblica y cristiana desde Filón de Alejandría y los padres de la iglesia. Cuando Rafael representa a Platón en su "Escuela de Atenas" del Vaticano es tan significativa su mano derecha señalando hacia arriba, hacia lo trascendente, como el hecho de que el libro que lleva en la izquierda es precisamente el Timeo.

Verosimilitud y falibilismo en el discurso del Timeo

Después de la apertura del diálogo, Platón nos ofrece una reflexión metadiscursiva que tiene como fin ubicar al lector acerca de los límites y el alcance de la exposición de Timeo.

Dentro de la neta separación existente en epistemología platónica entre la ciencia (episteme) y la opinión (doxa), el discurso cosmológico y antropológico que aborda, por estar claramente ligado al mundo sensible, será del segundo tipo. Tanto el cosmos como el hombre son generados, por lo que no podrá ser objeto de "verdad" sino de "creencia", de acuerdo a la proporción: "Lo que el ser es a la generación, es la verdad a la creencia." (29 c)

Timeo admite de entrada el propio falibilismo humano por lo que no es esperable una completa coherencia y exactitud:

"Por tanto, Sócrates, si en muchos temas, los dioses y la generación del universo, no llegamos a ser eventualmente capaces de ofrecer un discurso que sea totalmente coherente en todos sus aspectos y exacto, no te admires. Pero si lo hacemos tan verosímil como cualquier otro, será necesario alegrarse, ya que hemos de tener presente que yo, el que habla, y vosotros, los jueces, tenemos una naturaleza humana, de modo que acerca de esto conviene que aceptemos el relato probable y no busquemos más allá." (29 c-d)

Encontramos pues, en el diálogo platónico más impregnado de matemáticas una posición que en distintos aspectos se acerca (con las debidas reservas) al concepto de modelo matemático y el papel de las matemáticas en el discurso científico de la ciencia moderna y contemporánea. Einstein, por poner un ejemplo famoso, reflexionaba en su conferencia Geometría y experiencia de 1921:"las leyes matemáticas en cuanto se refieren a la realidad no son ciertas; y en cuanto son ciertas, no se refieren a la realidad" (Einstein, 1923).

Einstein adopta así la posición cercana al convencionalismo de Poincaré inspirado por el descubrimiento de las geometrías no euclidianas (Poincaré, 1968).

La utilización de un formalismo matemático con una amplia independencia de la apariencia del mundo físico es acentuada aún más a lo largo del siglo XX. Ortega y Gasset sintetiza así la posición del gran matemático Hermann Weyl:

"lo que la teoría física nos dice, su contenido, no tiene que ver con la Realidad de la cual nos habla. (...) El único contacto entre la <<teoría física>> y la realidad consiste en que ella nos permite predecir ciertos hechos reales, que son los experimentos. Según esto, la física actual no pretende ser presencia de la Realidad al pensamiento puesto que este, en la <<teoría física>> no pretende estar en correspondencia similar con ella." (Ortega y Gasset, 1979).

Ortega reproduce también el siguiente diagrama de Weyl:

En síntesis, la idea del discurso verosímil o probable constituye un punto de acercamiento de Platón con la ciencia contemporánea y a la filosofía de la ciencia en más de un aspecto. Al mismo tiempo, el diálogo en su totalidad puede verse también como una reivindicación desde el pensamiento maduro del autor, del papel de la doxa como fuente de conocimiento no absoluto pero con cierto grado indirecto de "verdad" en lo que nosotros llamaríamos física o ciencia natural.

Unicidad del universo

Timeo ofrece un argumento de que el universo, tal como lo indica la palabra, es efectivamente uno, es decir, de que no es posible la pluralidad de universos.

"lo hizo (el dios) un ser viviente visible y único con todas las criaturas vivientes que por naturaleza le son afines dentro de sí." (31 a)

En efecto, siguiendo la línea del hilozoísmo y el hilopsiquismo de la tradición presocrática, el universo es concebido como un ser viviente dotado de alma y razón: "según el discurso probable debemos afirmar que este universo llegó a ser verdaderamente un viviente provisto de alma y razón por la providencia divina." (30b)

Timeo plantea así el problema de la unicidad o pluralidad del universo:

"¿Es verdadera la afirmación de la unicidad del universo o sería más correcto decir que hay muchos e incluso infinitos mundos? Uno, si en realidad ha de estar fabricado según su modelo. Pues lo que incluye todos los seres vivos inteligibles existentes nunca podría formar un par con otro porque sería necesario otro ser vivo adicional que los comprendiera a estos dos, del que serían partes, y entonces sería más correcto afirmar que este mundo no se asemeja ya a aquellos sino a aquel que los abarca. Por ello, para que en las singularidad fuera semejante al ser vivo perfecto, su creador no hizo ni dos ni infinitos mundos, sino que éste, generado como un universo único, existe y existirá solo." (31a-b)

El argumento recuerda el argumento del "tercer hombre" ofrecido por Platón en el Parménides (132a) y retomado por Aristóteles. Platón no considera aquí el problema de la autoreferencia ligada a la noción de pertenencia. Este será considerado más adelante en el contexto de la teoría de conjuntos y dará lugar a paradojas (como la de Burali-Forti o la de Russell), que parten de conjuntos problemáticos como "el conjunto de todos los conjuntos" o "el conjunto de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos".

Similitud y proporción: de la diversificación a la unidad

La entrada anterior buscaba subrayar el papel que cumplían para los griegos las proporciones en cuanto hacen posible la mediación entre dos términos dados, en especial cuando se encuentra el medio proporcional entre estos. Timeo sintetiza esta idea de la siguiente manera:

"Pero no es posible unir bien dos elementos aislados sin un tercero, ya que es necesario un vínculo en el medio que los una. El vínculo más bello es aquel que puede lograr que él mismo y los elementos por él vinculados alcancen el mayor grado posible de unidad. La proporción es la que por naturaleza realiza esto de la manera más perfecta. En efecto, cuando de tres números cualesquiera, sean enteros o cuadrados, el término medio es tal que la relación que tiene el primer extremo con él, la tiene él con el segundo, y, a la inversa, la que tiene el segundo extremo con el término medio, la tiene éste con el primero; entonces, puesto que el medio se ha convertido en principio y fin, y el principio y fin, en medio, sucederá necesariamente que así todos son lo mismo y, al convertirse en idénticos unos a otros, todos serán uno." (31 b -32 a)

En términos formales, dados los dos extremos a y b, y el término medio c, tendremos tanto la relación a:c=c:b, como la "inversa", b:c=c:a, es decir, c:a=b:c por lo cual "el medio se ha convertido en principio y fin, y el principio y fin, en medio".

Encontramos pues presente la búsqueda de un pasaje de la diversificación a la unificación.

Esto surge en la explicación del origen de los elementos: lo corpóreo, lo visible y lo tangible deben ser parte de lo generado, por lo cual son indispensables los elementos fuego (f) y tierra (t). Por tratarse de elementos sólidos (es decir, dotados de tridimensionalidad), tenemos que no basta con encontrar un término medio proporcional, sino dos elementos, aire (a) y agua (g) que establezcan la siguiente relación: f:a=a:g=g:t. Esto posibilita el pasaje, en términos geométricos, la equivalencia del volumen entre los cubos de aristas a y g, y los prismas construídos a partir de f y t.

El tema de la proporcionalidad es recurrente en el diálogo y aparece de nuevo al hablar de la creación del alma (que es ontológicamente anterior al cuerpo) del mundo. Para esta el demiurgo parte de "lo mismo", "lo otro", y de "una tercera clase de ser hecha de las otras dos" (vemos aquí también de nuevo aparecer el tema de la mediación y terceridad allende las polaridades y oposiciones). La creación de una armonía musical en las esferas celestes está basado en dos series geométricas: la de razón 2 (1, 2, 4, 8) y la de razón 3 (1, 3, 9, 27). La serie es estendida sólo hasta potencia tres ya que estamos en un espacio tridimensional. Entre estos intervalos Timeo introduce dos tipos de "medios" (de mediaciones): la llamada media armónica y la media aritmética. Dadas dos cantidades a y b, a fórmula de esta última es (a+b)/2, mientras que la primera está dada por 2ab/a+b. Entre 6 y 12, por ejemplo, la media aritmética es (6+12)/2=9, que es superior a 6 y es superada por 12 en la misma cantidad, es decir 3; la media armónica es 2·6·12/(6+12), es decir 144/18= 8, número que supera a 6 y es superado por 12 de la misma fracción de 6 y 12, es decir 1/3.

Siguiendo las indicaciones de Platón, al llenar los intervalos de la primera serie obtenemos:

1, 4/3, 3/2, 2, 8/3, 3, 4, 16/3, 6, 8

Del llenado de los intervalos de la otra serie obtenemos:

1, 3/2, 2, 3, 9/2, 6, 9, 27/2, 18, 27

Si consideramos las razones entre los términos de las dos series, vemos que que estos tres tipos de razones se repiten siempre: 3/2, 4/3 y 9/8. En efecto, las razones son respectivamente:

4/3, 9/8, 4/3, 4/3, 9/8, 4/3, 4/3, 9/8, 4/3

y

3/2, 4/3, 3/2, 3/2, 4/3, 3/2, 3/2, 4/3, 3/2

Ahora, Timeo añade que el demiurgo "llenó todos los de cuatro tercios con uno de nueve octavos".

Esto nos da las nuevas series:

1, 9/8, 4/3, 3/2, 27/16, 2, 9/4, 8/3, 3, 27/8, 4, 9/2, 16/3, 6, 27/4, 8

y

1, 3/2, 27/16, 2, 3, 9/2, 81/16, 6, 9, 27/2, 81/32, 18, 27

Ahora, al juntar las dos series vemos que tenemos consecutivos los dos términos 81/16 y 16/3. La razón de su intervalo nos da 256/243 que es la relación a la que finalmente se refiere Platón y que coincide con el semitono menor, el leimma ("residuo").

Todo esto, por supuesto, coincide con la teoría musical de los pitagóricos. Los intervalos 3/2, 4/3 y 9/8 (que se pueden escuchar aquí), son los llamados diapente, diatessaron y epogdoon que aparecen en la figura del Pitágoras de Rafael:

NOTA: Es precisamente al traducir el Timeo, que Cicerón introduce por primero la palabra en latín "proportio" para el griego analogia. " Id optime adsequitur quae Graece analogia, Latine - audendum est enim, quoniam haec primum a nobis novantur - comparatio pro portione dici potest." (la versión de Cicerón, junto con el original griego y otras traducciones aquí)

Bibliografía

Kline, Morris. El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días. Alianza editorial, 2012.

Einstein, A. (1923). Sidelights on Relativity. New York, P. Dutton., Co.

Ortega y Gasset, J. (1979). La idea de principio en Leibniz y la evolución de la teoría deductiva. Revista de occidente.

Platón (1997). Diálogos VII. Filebo, Timeo, Critias. Madrid: Biblioteca Clásica Gredos.

Poincaré, H. (1968). La Science et l’hypothèse, préface de J. Vuillemin, Paris, Flammarion.

Reale, G. (2005). La" Scuola di Atene" di Raffaello. Bompiani.

Zellini, P. (1999). Gnomon: una indagine sul numero. Adelphi Edizioni spa.