Los símbolos del infinito (Primera parte)
La elaboración flornskiana de la matemática como presupuesto fundamental de toda forma de pensamiento y visión del mundo tiene como uno de sus temas más centrales el del infinito. Este tema es tratado, como es usual en el autor, en sus múltiples ramificaciones, pero el núcleo central de su reflexión está constituido por las ideas del matemático Georg Cantor. En esta y las siguientes entradas se examinará el ensayo “Los símbolos del infinito”, publicado originalmente en 1904. Se trata en efecto del primer estudio sobre el tema en Ruso, ya que Florenski fue pionero en su país en la asimilación de las ideas de Cantor, para entonces absolutamente revolucionarias. Tal como el autor le manifestaría al eminente matemático Luzin, “En el ámbito universitario, por lo menos el moscovita, yo era el primero en llamar la atención sobre los números transfinitos y los conjuntos. Estas cuetiones eran completamente ajenas para todos aquellos que no solo no reconocían la importancia de de los trabajos de Cantor, sino que no lo conocían siquiera. Cuando comencé a ocuparme de estas cuestiones, a los demás les parecía que mis estudios eran una extravagancia y un juego inútil de abstracciones semiteológicas”. (De la correspondencia entre Luzin y Florenski, tomado de Florenski. 2007, p. 26).
1. El horror infiniti
Florenski comienza su ensayo precisando los distintos sentidos en que la palabra infinito se usa corrientemente y se ha usado a lo largo de la historia. Esto con el propósito de levantar prejuicios que, según él, nos ha impedido una aproximación apropiada al concepto: “Con respecto al concepto de infinito, mentes muy sutiles y capaces han sido exentas de imprecisiones y reticencias.”
“Entre otras cosas, las dificultades dependen solo en parte -y una parte totalmente irrilevante- del hecho que se trata de abstracciones; la causa principal es la parcialidad de la reflexión. El rechazo, si es que no la incapacidad, de mirar directamente el objeto de investigación. Hay un acercamiento a todo lo que es estudiado con la convicción de que son cosas conocidas: pero <<el saber envanece y el amor instruye>>[1], y resulta evidente el saber imaginario, el horror infiniti que, según Cantor, reina en la sociedad.”
2. El infinito potencial
Para Florenski, los errores que se cometen en las reflexiones respecto al infinito se deben al descuido respecto a la conocida distinción aristotélica entre infinito actual e infinito potencial.
Florenski recuerda las distintas maneras en que se puede entender una cantidad dada, un quantum. Este se puede establecer como quantum constante o como quantum variable.
“Sea dada una variable che cambie de modo no fortuito, sino determinado, de manera que que se vuelva mayor –o menor- que un quantum cualquiera continuo (finito), del mismo género. Esta variable es finita en cada una de sus condiciones; en nuestra comprensión, sin embargo, la totalidad de estas condiciones se distingue de la totalidad de otras condiciones escogidas arbitrariamente. Es eneste sentido que nuestro quantum es un infinito potencial, potencial en cuanto puede volverse mayor o menor que qualquier otro quantum. Así, el infinito potencial no determina un quantum cualquiera tomado en sí, sino solamente un modo particular de mirar al quantum mismo en relación con su cambio específico. En palabras de Cantor el infinito potencial no es una idea, sino solo un concepto auxiliar; se trata de un ens rationis, para usar la conveniente definición de Stökl. Para ser breves, el infinito potencial es el que los antiguos llamaban 𝛼𝜋𝜀𝜄𝜌𝜊𝜂, los escolásticos sincategorematice infinitum, los nuevos filósofos mal infinito. Un ejemplo típico está representado, obviamente, por el timpo, que corre eternamente y que todo lo inunda; y las mejores metáforas son el suplicio de Tántalo, el tonel de las Danaides y los pretas, los seres infernales de los budistas. Se trata de <<mostruos perennemente hambrientos, con una gruesa cabeza, la mirada feroz y un enorme estómago que no se llena nunca , con miembros resecos como los de un esqueleto; están desnudos, cubiertos de pelos, bigotudos y de boca delgada como el ojo de una aguja. Tienen perennemente hambre y prerennemente sed. Oyen la palabra “agua” una vez cada cienmil años, y cuando la encuentran, se convierte en inmundicia ante sus ojos. Algunos de ellos comen chispas de fuego, otros cadáveres o su propio cuerpo, pero no se pueden saciar debido a la estrechez de su boca. Parece que en el rostro de esos pobre seres la fantasía de los budistas querían encarnar el concepto de esa brama de vida que lleva a la pasión y que es también la causa de las metamorfosis, el mal de la vida. La brama eterna de existir no puede encontrar nunca con qué saciarse.>>” (Obispo Crisanto).
Encontramos también una alusión a los infinitesimales. Es de notar que en el proceso histórico de aritmetización del Análisis que culmina con Cauchy y Weierstrass, la matemática había eliminado la posibilidad de trabajar con estas cantidades utilizadas en los orígenes del cálculo. Pocas voces heterodoxas, como G. Veronese o C. S. Peirce, reivindicaban la validez y naturalidad de su uso para entonces.
“Este infinito potencial que no concluye nunca es por lo tanto la cantidad finita variable. El quantum que crece más allá de todo límite o que, al contrario, desciende más allá de todo límite finito. Así son, por ejemplo, los diferenciales, que precisamente por esta peculiaridad habían sido entendidos por Leibniz como funciones puras. Tomando en cuenta esto, es evidente que hablar de un infinito potencial finito –como, según Cantor, hizo Fontenelle- es una contraditio in terminis.”
Florenski pasa a examinar las modalidades del Horror infiniti ya mencionado, que para él está vinculado a la visión positivista de la realidad, que se propone superar en distintos puntos de su obra:
“Desafortunadamente, una cantidad interminable, un legión de autoridades en todo campo hizo suya esta simple verdad con extrema arrogancia y, olvidando la palabra potencial, comenzó a proclamar en distintas voces que el <<infinito finito>> es absurdo. De aquí deriva el aforismo antiguo numerus infinitus repugnat, así como la afirmación de Tongiorgi multitudo actu infinita repugnat y semejantes.Este olvido ingenuo – con total evidencia- generó más de un error garrafal, y sobre este se basan , entre otras cosas, las primeras <<antinomias de la razón pura>> de Kant. En este mismo olvido, como veremos, se basan los llamados argumentos contra el infinito finito y muchas afirmaciones del positivismo.”
El autor reconstruye asimismo los orígenes del concepto en el pensamiento griego:
“El infinito potencial se hace más claro al querer mirar su origen. Por más extraño que sea, el concepto de infinito potencial germinó sobre un terreno estrictamente concreto, sobre el terreno de la cuestión del límite del infinito. El empuje para que surgiese fue dado por Anaximandro con su sistema, según el cual la potencia inagotable, inextinguible del ser, el 𝛼𝜋𝜀𝜄𝜌𝜊𝜂 indefinido, llena el espacio y de sus vísceras genera todas las cosas. La palabra apeiron, sin embargo, no significa –como demuestra Tannery, al contrario de lo que pensaban Aristóteles y muchos otros estudiosos- el infinito de la materia prima, lo ilimitado de su extensión, sino solo una fusión y una combinación de potencias, la posibilidad de generar continuamente seres. Con toda probabilidad, en la representación de Anaximandro el espacio es la esfera de las medidas finitas, el contenedor del mencionado apeiron.
Con Pitágoras la cuestión del infinito potencial entra en una fase completamente nueva, con una atención mayor – aunque no absoluta- al espacio. Siendo aplicada al espacio la palabra apeiron adquiere un contenido nuevo, en tanto que indica la posibilidad de una división ininterrumpida, de donde germinó el concepto de lo infinitamente pequeño; se adquiere, además, la conciencia de que el espacio es ilimitado y que va más allá del cosmos. <<No hay duda –sostiene Tannery- que la necesidad lógica, “subjetiva” de entender el espacio como infinito –necesidad regida por obsevaciones geométricas- se volvió evidente desde entonces. Pero todavía faltaba por descubrirse si dicha necesidad tenía un valor objetivo, si era o no aplicable al espacio físico, que entonces se entendía como lugar de la materia... Insisto sobre todo en el hecho de la cuetión surgió en primer lugar de la exigencia de dar figura al infinito, y que fue solo Aristóteles quien la desplazó hacia el campo de la lógica>>.”
3. El infinito actual
Continúa Florenski:
“Analicemos ahora el otro género de infinito: el infinito actual. Con este fin volvamos a nuestro punto de partida y al concepto de quantum, de quantum continuo, y enriquezcamos su contenido de constante con una propiedad nueva: una constante puede estar en la serie de otras constantes del mismo género, es decir, mayor que algunas constantes finitas y menor que otras. Entonces será ella también finita. Pero puede ocurrir que no esté en la serie de otras constantes en tanto que sea mayor de cualquier constante finita por más grande que la escojamos. Diremos entonces que nuestro quantum es un infinito actual, un infinito in actu, actualiter, y no solo in potentia.
En el diálogo Bruno, por ejemplo, Schelling descubre de forma brillante que todo concepto es un infinito en tanto que une en sí una cantidad de representaciones sin ser con esto finito; siendo , sin embargo, el volumen del concepto –en realidad- bastante determinado y dado este infinito no puede sino ser un infinito no puede ser sino un infinito actual. Todo juicio y todo teorema llevan en sí un infinito actual y en esto radica la fuerza del pensamiento lógico, como ya había indicado Sócrates.[2]
Tomemos, sin embargo, ejemplos más concretos. Pasando al espacio, por ejemplo, podemos afirmar que todos los puntos interiores a una superficie cerrada forman un conjunto actualmente-infinito. En realidad, cada uno de ellos está bien definido, y por lo tanto lo son todos en conjunto; sin embargo su número va más allá de cualquier número de la serie 1, 2, 3... n... y es mayor que cada uno de ellos. Es en este sentido que podemos decir que la potencia Divina es actualmente-infinita, en tanto que, siendo definida (Dios no presenta cambios), es al mismo tiempo mayor que cualquier potencia finita.
La idea del infinito actual está expresada de manera bastante clara por el autor del libro La jerarquía celeste, atribuido a Dionisio Aeropagita. <<A mi parecer – escribe – es digno de cuidadosa reflexión todo lo que la escritura dice acerca de los Ángeles, o sea que son miles de miles y multitudes de multitudes, multiplicando por sí mismos los múmeros que para nosotros son los más altos. Por este medio se demuestra que los tipos de los seres celestiales son incalculables para nosotros; por esta razón las filas de las mentes serenísimas son sin número. Estas aventajan el número pequeño e insuficiente de los números utilizados por nosotros y son determinadas con precisión solo con su serenísima intelección>>.
En el concepto analizado aquí de infinito actual no es difícil reconocer lo que los antiguos indicaban con el nombre de AFORISMENON, los escolásticos categorimatice infinitum, y los nuevos filósofos, infinito positivo, propio. Como escribió Goethe, <<se trata de un infinito cerrado que le encaja mejor a un ser humano que a un cielo estrellado>>, tanto más que este último, obviamente, es entendido justamente como la posibilidad de tender siempre más allá sin estar en capacidad de producir una síntesis y de aquietarse en lo entero.
Nos encontramos aquí con otra consideración. Para que el infinito potencial sea posible, debe ser posible un cambio ilimitado. Para esto último, es necesario sin embargo un ámbito de transformación que no esté sujeto en sí mismo a cambios. Y esto porque de lo contrario necesitaríamos de un campo de transformación para dicho ámbito, y así sucesivamente. Este, sin embargo, no es finito y es por lo tanto en sí mismo actualmente infinito. Por lo tanto, todo infinito potencial presupone la existencia de un infinito actual como su propio límite suprafinito, cualquier progreso infinito presupone la existencia de un objetivo infinito del progreso, todo perfeccionamiento infinito necesita que se admita la perfección infinita. Quien niega el infinito actual en cualquier acepción, con eso mismo niega también el infinito potencial en esta misma acepción, y el positivismo tiene en sí los elementos de su propia corrupción. En el positivismo tiene lugar un auto envenenamiento mediante lo que produce su misma actividad. <<Allerdings – dice Gutberlet – liegt darin eine grosse inkonsequenz, dass man in neurere Zeit alle naturwissenschaftlichen auch offenbar veralteten Anschaugen des hl. Thomas von Aquino mit reinlicher Sorgfalt zur Geltung zu bringen sucht, dagegen an einer so eminent speculativen Frage Wie die Ewigkeit der Welt ihn im Stiche lässt (ya que negando el infinito actual es absurdo sostener la eternidad o la infinitud del mundo). Und auch darin liegt eine Inkonsequenz, dass man in der Erkenntnis Gottes eine actual unendliche Menge möglicher Dinge zugiebt, deren Möglichkeit selbst aber bestreitet. Man Hilft sich da un sagt, man dürfe die Art der Göttlichen Erkenntnis nicht auf die menchliche übertragen; - ganz recht, aber darum es sich nicht: Wen eine aktual unendliche Menge in sich widersprechend ist, dann kann sie auch in Gottes Geiste nichts anderes Sein, als ein Absurdum, wie etwa ein viereckiger Kreis>> [3]”.
Notas
[1] Proverbio ruso.
[2] Más adelante Florenski retomará esta última idea tanto en (Florenski, 1999) como en (Florenski, 2014).
[3] << Es evidente sin embargo, que existe una seria incoherencia en el hecho de que en los tiempos modernos se haya intentado utilizar con pedante meticulosidad todas las opiniones científicas _ obviamente obsoletas- de Santo Tomás de Aquino del cual sin embargo se tomaba distancia sobre una cuestión especulativa importantísima como la de la eternidad del mundo. Y también hay una incoherencia en el hecho de que en el conocimiento de Dios se admite un número actual infinito de cosas posibles, pero se niega su posibilidad. Uno puede salir de este callejón diciendo que no se debe transferir el tipo de conocimiento divino al conocimiento humano; - Muy bien, pero no se trata de eso: si una cantidad realmente infinita es contradictoria en sí misma, entonces en el Espíritu de Dios no puede ser más que un absurdo, como lo sería un círculo cuadrado.>>
Referencias
Florenskij, P. A. (1999). Il significato dell'idealismo. Rusconi libri.
Florenskij, P. A. (2007). Il simbolo e la forma. Scritti di filosofia della scienza, Bollati Boringhieri.
Florenskij, P. A. (2014). L'infinito nella conoscenza. Mimesis.
Vargas, F. (2013), Aritmología, infinito y trascendencia: hacia el lugar de las matemáticas en la filosofía de Pavel Florenski. In F. Zalamea (Ed.), Rondas en Sais, ensayos sobre matemáticas y cultura contemporánea (pp. 61-79). Bogotá: Universidad Nacional de Colombia.
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