Los símbolos del infinito (Segunda parte)
Continuando la entrada anterior, en esta entrada me limito a traducir de manera integral la segunda sección del ensayo de Florenski.
2.
“Lo dicho hasta ahora puede parecer algo conocido; no son, en efecto, afirmaciones peculiares de Cantor, de cuyas obras quiero exponer el sentido, y si no lo son es porque eran cosas ya sabidas antes de él. Consideré sin embargo oportuno subrayar con decisión la diferencia básica entre infinitos actuales y potenciales en cuanto bastante a menudo se pierde de vista, y también en cuanto las obras de Cantor están consagradas solo al primer tipo de infinito, al infinito propio; si no se hubieran subrayado estas circunstancias, hubieramos estado condenados a la incomprensión total de sus ideas.
Según la definición de infinito actual expresada anteriormente se puede concluir que este puede ser pensado según dos acepciones. En primer lugar, siendo mayor que cualquier quantum finito, él mismo puede llegar a un fin por el hecho de no tener otro quantum mayor – infinito también - ; en otros términos, este resulta aquí incapaz de ser menor que cualquier otra cosa. Es un infinito actual incapaz de aumentar, es un máximo absoluto; y así, precisamente, lo llama también Cantor: Absolutum. En segundo lugar – cosa que no ha sido notada por quienes han hablado de infinito – de la definición de infinito actual deriva la posibilidad de una segunda mutación. Es decir, el infinito actual puede tener por encima de sí, otros quanta mayores que él; será entonces susceptible de aumentar, será un infinito actual aumentable. Para evitar de una vez por todas dilaciones y confusiones verbales, Cantor lo define suprafinito, Überendlichkeit.
De estas considerciones formales pasemos a las reales. Nos encontramos – o por lo menos podemos esperar encontrarnos – en el infinito actual en tres ámbitos distintos. En primer lugar, en cuanto se realiza en la perfección suprema de una realidad independiente y supraterrena, en pocas palabras in Deo sive natura naturans – con Cantor que entiende esta expresión no en el sentido del panteísmo sino en la acepción original de Tomás de Aquino y de otros teólogos. Aquí el infinito es el máximo absoluto y es lo que en otro tiempo se definía como Absolutum o infinito absoluto. En segundo lugar, lo actualmente infinito puede suponerse in concreto, en el mundo dependiente, en la creación, en la natura naturata. Cantor lo define como Transfinitum. Finalmente, en tercer lugar, lo actualmente infinito puede ser in abstracto, en el espíritu, en cuanto tiene la posibilidad de conocer el Transfinitum en la naturaleza y, hasta cierto punto, el Absolutum en Dios. En este último caso el infinito toma el nombre de símbolos del infinito. Específicamente, si se trata precisamente del conocimiento del Transfinitum, estos símbolos toman el nombre de números transfinitos y de tipos transfinitos. Estos dos últimos tipos de infinito son infinitos aumentables.
Al lector le puede parecer que se hace aquí más de una afirmación dogmática del tipo: <<en la naturaleza existe lo actualmente infinito>> y así sucesivamente. Pero no es así. El esquema de casos pensables de infinito actual que he citado es solo el esquema lógico más genérico, por cuanto en este se listan todos los objetos de los que podemos sospechar su infinitud. No se deriva de esto aún que el infinito esté verdaderamente presente en cada uno de los objetos considerados; el infinito actual en cada una de estas tres direcciones (Dios, mundo, el espíritu) podría ser en principio afirmado o negado hasta no hacer una indagación ulterior. Las distintas combinaciones de las afirmaciones y de las negaciones dan - según un conocido teorema del cálculo combinatorio – ocho (23=8) puntos de vista diferentes que se encuentran todos presentes en la filosofía. Una tal distribución de los sistemas respecto a su relación con el infinito en dos líneas y tres columnas, como:
| Dios | Mundo | Espíritu |
sí |
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|
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no |
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al parecer no fue nunca producida antes de Cantor, y a menudo es bastante fructífera. Por lo que concierne a Cantor, es el primero en ubicarse desde el punto de vista una afirmación incondicionada de la existencia de todos los tres géneros de lo actualmente infinito; él afirma así que el infinito actual tiene lugar in Deo, in concreto, in abstracto.
Para quien no tenga conocimientos al respecto, la justificación de este punto de vista puede iniciar solo a partir de la justificación del infinito actual in abstracto. Una negación de este en este ámbito, lleva también a una negación en el mundo y en Dios, lo que a su vez entrampa a quien niega con contradicciones irresueltas.
Hata cierto punto esta era la opinión al respecto de Orígenes. Asumiendo una posición firme contra el infinito actual, según dice Cantor, <<él va más allá tanto que pareciera que no quisiera saber la infinitud de Dios como afirmada>> en tanto que sostiene que <<este eufemismo mendaz no debería servir para negar la limitación de la fuerza divina>>. La causa resulta evidente, el concepto de infinito actual era clara solo para la mente de muy pocos , como - por ejemplo - Agustín. Todos los demás examinaban solamente el infinito potencial. A este infinito, incluyendo el apeiron, se ligaba esencialmente, si no siempre, el concepto de indefinido, de incompleto. De igual modo, en latín, infinitum, infinitus, era usado en la acepción de indefinido (infinitior distributio partium es un error lógico, infinitas questiones son preguntas imprecisas); analogamente la palabra finis es a menudo utilizada como peraς[1], ambas en la acepción de perfección (de finibus bonorum, finis acqui juris)[2].
Orígenes dio dos argumentos contra el infinito actual. El primero es que el infinito no puede ser dado en los seres vivos, en tanto que tienen un límite, finem; si no hubiera este límite, no sería pensable ni siquiera llegar a él, y en consecuencia las Divinidad no podría alcanzarlos. El segundo argumento es análogo, pero sostiene con mayor determinación que un conjunto infinito no puede existir, en la medida en que si existiera sería captado - como todo conjunto - con un número, mientras que no existe un número infinito. <<Omnis multitudo - afirma - in rerum natura existens, est creata; et omne creatum sub aliqua certa intentione creantis comprehenditur, non enim in vanum agens aliquod operatur. Unde necesse est quod sub certo numero omnia creata comprehenditur (sic.). Impossibile est ergo esse multitudinem infinitam in actu, etiam per accidens>>.[3]
<<En esta profundísima consideración de Orígenes - dice Cantor - veo el punto de partida de los argumentos más significativos e interesantes que han sido citados contra el Transfinitum>>. Todos los argumentos de otro género contra el Transfinitum padecen de errores directos , llevan en sí una petitio principii y no es difícil aniquilarlos con una simple negación, sin entrar en la sustancia y tan solo indicando el error; en cambio <<ambas consideraciones de Orígenes estan bastante bien fundadas y pueden ser resueltas o abatidas solo positivamente, indicando y demostrando que los números transfinitos y los tipos de orden existen>>; cuando Cantor lo demostró fue entonces claro que los númerso transfinitos estaban <<igualmente listos para servir a las intenciones del Creador y a su fuerza de voluntad, inconmensurable respecto a los números finitos>>.
Sin embargo, a pesar de las argumentaciones negativas, según Cantor <<en cada época el infinito actual in natura creata encontró siempre sus adeptos en el pensamiento cristiano>>. A manera de ejemplo Cantor remite a los franciscanos (¡típico!) Emanuel Maignan de Tolosa, que vivió en siglo XVIII, a su discípulo, franciscno también, Ioh. Saguens y a algunos nominalistas y escotistas. No voy a transcribir el listados de los pensadores que cita, superiores en número a varias decenas.
Referencias
Florenskij, P. A. (2007). Il simbolo e la forma. Scritti di filosofia della scienza, Bollati Boringhieri.
Vargas, F. (2013), Aritmología, infinito y trascendencia: hacia el lugar de las matemáticas en la filosofía de Pavel Florenski. In F. Zalamea (Ed.), Rondas en Sais, ensayos sobre matemáticas y cultura contemporánea (pp. 61-79). Bogotá: Universidad Nacional de Colombia.
[1] <<Finalidad, límite, cumplimiento>>.
[2] <<Sobre los límites del bien, sobre los fines de la perfección>>.
[3] <<Todo conjunto existente en la naturaleza fue creado; Todo lo creado es entendido como manifestación de una intención del Creador, en cuanto Él no hace nada sin una finalidad. En consecuencia es necesario que todo lo creado sea entendido en cuanto número. Por lo tanto a un conjunto infinito actual no le es dado existir ni siquiera por "casualidad".>>. La cita es tomada de Thomas Aquinas. Opera omnia, Editio nova, Parisiis 1895, vol I, p. 48 (N. del A.).
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