Los símbolos del infinito (Cuarta parte)
4.
Grupo.[1] La teoría de Cantor sobre el infinito actual y sus símbolos creció sobre el humus nuevo, pero ya suficientemente abundante, de una ciencia que él mismo había creado casi por completo, la ciencia de los grupos (Mengenlehre, Mannigfaltigskeitlehre).[2] Para decirlo con palabras más sencillas, esta es una sección específica de dicha ciencia. Es entonces necesario especificar de qué ciencia se trata y cuáles son sus fundamentos.[3]
Del mismo nombre de la ciencia es evidente que la idea central es la de grupo (Menge, Mannigfaltigskeit, ensemble). Se trata, sin embargo, de una idea tan genérica y al mismo tiempo de una condición tan necesaria para cualquier saber, que definirla, si es que fuera posible coma no es en todo caso necesario - como recita el célebre consejo de Pascal. A aquel que no tuviera una idea del concepto de grupo, una tal definición no le aclararía nada, y a aquel que la tuviera, le resultaría superfluo, en cuanto se trata de una idea neta y clara. Sin embargo, cuando pronunció la palabra << grupo>> el término resulta poco comprensible para la mayoría de personas; es entonces necesario aclarar lo que se entiende con esta palabra. Se podría decir así: cualquier resultado de la síntesis de una pluralidad en una singularidad a través de un acto del espíritu es un grupo, es una cosa en sí simple. La ciencia de los grupos es entonces la ciencia de lo plural y de lo singular en su relación recíproca. Para ser honestos, adopto el uso conocido de las palabras, le explico con singular y plural lo que en realidad está antes de estos conceptos en sentido gnoseológico, si es que no lógico: el conjunto es para el espíritu el resultado de la abstracción de la unidad a partir del grupo. No podemos tener idea del plural prescindiendo de lo singular cómo en tanto que este se hace singular Incluso sólo por el hecho de ser pensado por un sujeto singular. Al contrario, el singular no puede ser un singular vacío, un singular de nada, de ningún conjunto; este no se distinguiría en nada de su propia negación, o sea sería ya una nada de suyo. Por esta razón singular y múltiple no son ideas autónomas, sino rasgos inter depp dientes de una idea coma la idea de grupo.
Dicho esto, aclaremos ulteriormente el término grupo. << Con "grupo" - dice Cantor - entendemos cualquier agregación en un todo M de determinados objetos m diferentes en nuestra noncepción o en nuestro pensamiento (que llamaremos " elementos" de M) [Unter eine "Menge" verstehen wir jede Zussamenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objecten in unserer Anschauung oder unseres Denken (welche die "Elemente" von M gennant werden) su einem Ganzen]>>.[4]
Que en signos puede ser expresado así:
M={m}.
La unión de un grupo de orden superior de muchos grupos considerados temporalmente como elementos se expresa - si dichos grupos no tienen elementos en común - con el signo (M, N, P...), De tal modo que del grupo obtenido como resultado serán la totalidad de elementos de los grupos M, N, P...
Con << parte>>, o << grupo parcial>> (Theilmenge) de un grupo M Cantor indica cualquier otro grupo M1 Tal que los elementos que lo forman son también elementos de M. De esta definición resulta claro que si M2 es una parte de M1 y M1 es una parte de M, también M2 será una parte de M.
Para aclarar definitivamente el sentido del término fundamental de grupo voy a citar algunos sinónimos de este. Algunos son, por ejemplo, las expresiones << total>>, << totalidad>> (En el sentido que tiene en lógica Inbegriff), << colección>>,<<ensemble>> etc. Como ejemplo de grupos pueden servir por lo menos cómo la totalidad de los puntos que yacen sobre una circunferencia, la totalidad de los números enteros, la totalidad de los libros de un autor, de personas de determinadas convicciones etc.; de manera análoga tendríamos también la colección, la totalidad de las sensaciones de cierto tipo, de las partes de una cantidad dada, de los estadios de algún proceso etc.
Si resulta superfluo definir el término genérico de <<grupo>> no se puede decir lo mismo de la cuestión respecto al cuando el grupo M en examen está o no está definido. Hasta que esto no se aclare, no tenemos ningún derecho de intervenir sobre el grupo examinado, en cuanto significaría intervenir sin saber nosotros mismos sobre qué cosa cómo sobre algo que podría revelarse como no definido y concluido en sí. Es claro que si el grupo es finito - o sea como se compone de una cantidad finita de elementos (se trata por ahora de un uso propedéutico del término <<finito>> ya que enseguida tendrá que ser definido a su vez) -, dar un grupo significará, por ejemplo, proveer uno tras otro los elementos, hacer una enumerationem simplicem del mismo. Pero ¿es acaso necesario? Claro que no, e incluso a veces no es siquiera posible, como cuando, por ejemplo, los elementos constitutivos son diez millones. El grupo es tal cuando de las propiedades de cualquier elemento suyo se puede decidir si este es o no acorde con el principio unificador del grupo, si pertenece o no al grupo en cuestión y si es igual a alguno de los elementos ya examinados del grupo. Es evidente que las propiedades analizadas deben estar en condiciones de resolver en su totalidad la cuestión relativa a la pertenencia o no del elemento dado al grupo, ya que no todas las propiedades permiten hacerlo. Si, por ejemplo, tomamos un grupo de puntos sobre una circunferencia y establecemos que un punto de la superficie no yace fuera de la circunferencia misma, esta propiedad no permitirá todavía determinar si el punto dado pertenece o no al grupo en cuestión; en realidad este se puede encontrarse sobre la circunferencia, y entonces pertenecerá al grupo, o puede estar en su interior, y entonces no pertenecerá al mismo.
La definición general de Cantor es en los siguientes términos: <<Llamo bien definida [bien définie] a una multiplicidad (una clase, un conjunto) de elementos pertenecientes a una esfera conceptual [sphère abstraite] cualquiera, cuando sobre la base de su definición, y como consecuencia del principio lógico del tercero excluído, se debe considerar internamente determinado [intrinsèquement determiné]: primero, si cualquier objeto perteneciente a esa misma esfera conceptual es o no es elemento de la multiplicidad que es pensada; segundo, si dos objetos pertenecientes al conjunto son o no son iguales el uno al otro, más allá de una diferencia formal en el modo en que son dados>>.[5] Esta definición debe necesariamente ser explicada, en tanto que incluso Borel sostiene que <<ce passage (...) il nous a paru très intéressant, mais en même temps assez difficil à comprendre>>.[6]
Cantor lleva adelante el discurso desde la esfera abstracta ya que solo en esta el grupo puede ser objeto de un análisis científico. Ya que es solo y exclusivamente cuando entrevemos cierto rasgo en común que las ideas y los objetos pueden convertirse en elementos de un grupo; sin embargo, con el fin de que este rasgo común se pueda someter a un análisis lógico es necesario obtenerlo con un acto de abstracción, y en consecuencia con eso mismo se pasa a la esfera de lo abstracto.
La determinación intrínseca indica que - a pesar de que los métodos y de los medios de los que disponemos a menudo no están en capacidad de decidir si un elemento pertenece o no al grupo dado - podemos in embargo estar seguros de que en la sustancia del elemento está ya predeterminado si este se adapta o no a la definición dada del grupo, y que no puede haber dudas o vaguedades al respecto. Se podría de otro modo decir: tómese un grupo de números algebraicos y una ecuación trascendente arbitraria. ¿Su raiz pertenece o no al grupo? Aquí esto no está todavía determinado intrínsecamente, ya que no se ha indicado de qué ecuación se trata. En un caso, la respuesta podrá ser afirmativa, en el otro negativa. Se puede dar, sin embargo, también lo inverso. El elemento dado, por ejemplo el número , puede ser intrínsecamente determinado en su relación con el grupo - por ejemplo el grupo con los números algebraicos -, si bien pueda ser de lo más difícil, si es que no imposible en la práctica, entender si hace parte o no de este. Para ser breves, Cantor habla de determinación lógica y no de determinabilidad práctica.
Ordenación. Sea dado un grupo M={m}. Sus elementos son caracterizables por la totalidad de las propiedades comunes a todos; es sin embargo posible que estas propiedades - o por lo menos algunas de estas - sean tales que comparando dos elementos suyos al azar m' y m'' con una propiedad dada (a), se observe que estos permitan solamente una triple relación: o los elementos m' y m'' son iguales desde el punto de vista de la propiedad escogida, o bien - si no son iguales - al menos se encuentran el uno al lado del otro en una de las dos relaciones irreversibles (...)
[Hasta aquí la traducción del texto de Florenski, a continuación alternaré algunos comentarios con otras partes de su texto.]
Florenski se refiere aquí a lo que se conoce como una relación de orden, en donde un conjunto o un "grupo" está ordenado (geordnet) según la propiedad a en donde "puede tratarse de un orden dado lógicamente, de un orden temporal, de un orden de disposición en el espacio, etc.".
Florenski pasa a considerar el carácter dimensional presente en la ordenación de distintos conjuntos, o "grupos". Así:
"El número de propiedades que determinan al grupo en cuestión y que se definen como direcciones del grupo dado, es llamado valencia de orden (estructura) del grupo dado ya que si las propiedades mencionadas son 4 el grupo será de valencia 4. A grandes líneas, por simplicidad se tomarán solo grupos de valencia, en donde en su relación al grupo los elementos se caracterizan por una sola propiedad (...)"
"Los puntos de una superficie forman un grupo de valencia dos, en cuanto para determinar y definir el elemento bastan dos propiedades . las dos coordenadas (...) Una composición musical, una sinfonía, por ejemplo, es un grupo de valencia cuatro. Y los tonos son sus elementos; cada uno de ellos está determinado por los cuatro rasgos siguientes, que varían independientemente el uno del otro: altura intensidad, duración y timbre. Como tercer ejemplo podemos citar cualquier cuadro. Este representa también un grupo de valencia cuatro, ya que sus elementos, sus puntos, son determinados por las mismas cuatro propiedades independientes entre sí: color del punto, saturación de la luz, posición del punto respecto a los bordes del cuadro, para lo cual se deben dar las dos coordenadas del punto". (Florenski, 2009, pp. 50-51)
Florenski pasa a considerar la noción de correpondencia entre dos conjuntos, citando a Tannery, según el cual "la palabra correspondencia es usada continuamente en matemáticas: essta designa un pensamiento contemporáneo sobre dos objetos; cuando pienso en uno de estos objetos, pienso también en el otro".[7]
Entre estas correspondencias o relaciones entre dos conjuntos, nuestro autor se detiene sobre las correspondencias de tipo funcional y en particular las que llama "recíprocas y unívocas", lo que hoy llamamos correspondencias biyectivas.
Este tipo de relación entre dos conjuntos M y N (cuyos elementos genéricos se indican con m y n respectivamente) se puede dar de diferentes maneras:
"(...) se puede establecer con una fórmula verbal (dado un elemento se tendrá que encontrar el correspondiente n según tal o cual propiedad), o tal vez con una fórmula analítica; o bien, para terminar, se puede crear una correspondencia a través de operaciones concretas (por ejemplo una forma geométrica), si no con asociaciones, siempre y cuando se garantice su invariabilidad". (Florenski, 2009, pp. 51-52)
Florenski pasa a examinar lo que en terminología actual es indicado como isomorfismo entre conjuntos ordenados, es decir, biyecciones que conservan el orden entre ambos conjuntos. Enfatiza entonces la abismal diferenciación que se puede establecer entre lo finito y lo infinito según los resultados de Cantor. Cita el ejemplo bien conocido según el cual el conjunto de los números naturales ("enteros") se puede poner en correspondencia biyectiva con el de los números pares: "Evidentemente es absurdo. <<Los números enteros más de los números pares, ya que en los números enteros están tanto los pares como los impares>> alguien puede objetar. Sin embargo, en la relación dada los primeros son tantos como los segundos. De hecho, tras haber fijado de facto su correspondencia, la equivalencia de estos grupos puede ser demostrada." (Florenski, 2009, p. 53)
Otro ejemplo expuesto es el de los números racionales que se pueden poner en correspondencia con el conjunto de los enteros. Esto a pesar de que, según su orden convencional, son densos en toda parte (entre dos racionales distintos siempre hay otro racional). "Podría parecer que los grupos examinados no son equivalentes. Cantor sin embargo demostró de manera bastante simple que no es así, y que la correspondencia puede ser establecida, y que para hacerlo basta simplemente con mezclar y organizar en un orden nuevo los números racionales." (Florenski, 2009, p. 54).
Los conjuntos anteriormente considerados son llamados por Cantor contables (abzälhbar) o enumerables. Florenski pasa a mostrarnos, siguiendo una vez más a Cantor, que no todos los conjuntos son contables, considerando el ejemplo de los números reales, o incluso los irracionales. En efecto, el hecho de que no es posible poner a los reales en correspondencia biyectiva con los enteros, se demuestra mediante el célebre argumento diagonal de Cantor.
Notas
[1] La palabra grupo se entiende acá como sinónimo de conjunto.
[2] Teoría de conjuntos.
[3] En este ensayo no referiremos a la literatura respectiva, cosa que requeriría demasiado espacio. Una parte considerable de los materiales puede encontrarse en la Encyclopëdie der Math. Wissenschaften (en la voz Mengenlehre, a cargo de Schönflies), publicada por Burkhardt y en la <<Bibliotheca Math.>> de 1897 (N. del A.).
[4] Beitrage zur Begründungen der transfiniten Mengenlehre von G. Cantor, en <<Math. Annalen>>, Bd.46, 1845, p. 481 (Nota del Autor).
[5] <<Acta Mathematica>>, 1883; 2; 4 p. 361. G. Cantor, Sur les ensembles infinis et linéaires de points, III. (Nota del Autor).
[6] E. Borel, Leçons sur la théorie des fonctions, Gauthier-Villars, Paris 1898, p.2 (Nota del Autor).
[7] J. Tannery, De l'infinie mathématique, en <<Revue générale des Sciences pures et appliquées>>, VIII, 1897, pp. 129-40 (Nota del Autor).
Referencias
Florenskij, P. A. (2007). Il simbolo e la forma. Scritti di filosofia della scienza, Bollati Boringhieri.
Vargas, F. (2013), Aritmología, infinito y trascendencia: hacia el lugar de las matemáticas en la filosofía de Pavel Florenski. In F. Zalamea (Ed.), Rondas en Sais, ensayos sobre matemáticas y cultura contemporánea (pp. 61-79). Bogotá: Universidad Nacional de Colombia.
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