El infinito en Florenski (5)

Los símbolos del infinito (Quinta, sexta y séptima partes)

5

Entramos en esta sección en el que Florenski que define como el meollo del asunto es decir la definición cantoriana de los ordinales y cardinales transfinitos:

"Todo grupo M es algo entero cuyos elementos entran como sus componentes; asúmase que todos estos elementos sean distinguibles mentalmente los unos de los otros, sin embargo no es de nuestro interés saber si son homogéneos o no, complejos o simples. Lo que ahora nos importa es que sean diferentes y que estén unidos en algo entero.

Hasta ahora hemos considerado un grupo en relación a las propiedades de sus elementos. Ahora, sin embargo, realizamos un acto de abstracción respecto a la naturaleza de sus elementos. Todo elemento dará entonces una imagen propia en el espíritu, el esquema de una unión indistinguible, una unidad; el grupo, en cuanto entero, dará entonces un calco ideal propio, una imagen esquema mental del conjunto estructurado por la unión. Se tendrá una forma de distinción, pero una distinción estructurada y unida. Se tratará de un concepto general (en sentido figurado), de un Allgemeinbegriff, de un universal, o sea de un unum versus alia en el sentido que unum aptum inesse multis (M. Liberatore). Es claro que, habiendo abstraído solo de la naturaleza de los elementos, a este concepto general podrán referirse todos los grupos que se distinguen del dado originalmente solo por la naturaleza de sus elementos, pero no -por ejemplo - por su orden, es decir, grupos semejantes al dado. De hecho, entre éstos y el grupo M se puede establecer una correspondencia tal que a todo elemento de M corresponda un elemento de uno de estos grupos cómo y que sus órdenes sean los mismos en toda dirección.

G. Cantor define este concepto general tipo ordinal del grupo M, Ordnungstypus, y designa simbólicamente el acto de abstracción a partir del grupo con una liniecita puesta sobre el nombre del grupo mismo; el signo obtenido designa el resultado del acto, el tipo de orden, que Cantor indica con una letra griega. Por ejemplo, el tipo de orden del grupo M será [Se indica la M con una barra encima=𝛼] . De este modo, << si en un grupo M de valencia n-ésima abstraemos de la naturaleza de sus elementos manteniendo su orden de rango en las distintas n direcciones, en nosotros se creará una imagen mental, un concepto general (universal) que defino tipo ordinal de valencia n o también número ideal correspondiente al grupo M, que designaré con [Se indica la M con una barra encima]''>>[1]" (Florenski, 2009, pp. 56-57).

Florenski pasa luego a considerar el concepto de cardinal (potencia):

"Volvamos a tomar el grupo M. Un acto de doble abstracción - tanto de la naturaleza de las propiedades de los elementos, como de todas sus relaciones, y por o tanto también de la estructura, del orden del grupo - nos lleva a un concepto general, un universal al que remite el grupo en cuestión, así como aquellos equivalentes a este. (...) Cantor define potencia (Mächtigkeit, puissance) del grupo al concepto general así obtenido, o bien su número cardinal (Cardibalzahl). Llamamos <<potencia>> o <<número cardinal>>, dice Cantor, al concepto general que deducimos del grupo M, mediante nuestra facultad de pensar activamente (activen Denkvermögens) abstrayendo de la naturaleza de los distintos elementos m y del orden en que son dados. El resultado de este doble acto de abstracción es designado con el signo del grupo, pero con dos rayitas encima, o bien con una letra gótica (...)" (Florenski, 2009, pp.57-58).

"Hemos llegado entonces a construir estos símbolos. Estas potencias y estos tipos de orden, que Cantor define como números transfinitos, son un medio potente para dar forma a lo indeterminado cuando este se revela en el infinito.Al mismo tiempo, estos son símbolos para el conocimiento del Infinito con la I mayúscula. En este sentido, estos nos acercan solo a Su comprensión, se limitan a aludir <<como el espejo de los arúspices>>, pero aluden mejor, con claridad y expresividad mayores respecto a muchas otras cosas. Esto debido a su referencia directa al Transfinito, situado entre la plenitud absoluta y lo finito, que por algunas de sus características recuerdan a lo Infinito (...)" (Florenski, 2009, p. 58).

[1] G. Cantor, Mitteinlungen, <<Zeitschrift f. Phil.>>, Bd. 92 (Nota del Autor).

6.

"Hemos llegado al punto crítico que antes de Cantor había perturbado a todos los estudiosos y que había puesto obstáculos continuamente a la teoría del Transfinito.

Para la igualdad de los números cardinales es suficiente la equivalencia de los grupos corresponientes. Hemos ya visto, sin embargo, que una parte de un grupo puede ser equivalente al grupo entero; de este modo, por ejemplo,  se puede fijar una correspondencia entre el grupo de todos los números enteros y una parte suya, o sea los números pares. Análogamente, el grupo de los puntos contenidos en un segmento de dos unidades de largo, es equivalente al grupo de puntos contenido en un segmento de una unidad de largo. De manera semejante, Cantor demostró que este último grupo es equivalente a la totalidad de los puntos al interior de un cuadrado de lado uno, por ejemplo. Este último hecho parecerá algo sobremanera bizarro, en tanto que al interior del cuadrado hay lugar para un grupo transfinito de segmentos de recta, cada uno de los cuales con un grupo transfinito de puntos equivalente al primero. Se sigue que, por decirlo de alguna manera, una parte infinitamente pequeña en relación a la totalidad esté a la par de la totalidad misma. Ejemplos semejantes y análogos pueden inducir a dudar de la legitimidad del infinito actual. <<Los números pares son una parte de los números enteros, los puntos de una recta son una parte de los puntos del espacio. ¿cómo puede una parte ser igual al todo? ¿No se demuestra, así, la contradicción interna de nuestra teoría de los números cardinales aplicada a los grupos transfinitos? Si separamos un pedazo finito de una recta infinita, su longitud no cambia. ¿No es esto absurdo?>>: he aquí lo que se decía y se dice contra los grupos y los números transfinitos que los enumeran. Me cansaría de listar los nombres de las luminarias que - tanto en el ámbito teológico-filosófico como matemático - que han recurrido a toda una variedad de maneras y perífrasis, a menudo astutas, para indicar esta circunstancia. Muchos han hecho de esta el blanco de su agudeza dialéctica, para poner a prueba su propia ortodoxia, para una destrucción instantánea del Infinito. En estos argumentos han confiado cardinales y monjes desconocidos, librepensadores de grande fuerza y gente que gesticula conscientemente, luminarias o no (y son muchos), además de cerebros de todo tipo, algunos por una auténtica sed de verdad, otros para no desistir de sus propias posiciones de ninguna manera; algunos pensaban poder anichilar así el panteísmo, otros esperaban con esto aplastar el teísmo. Y, de manera extraordinaria, la tendencia opuesta ha reunido a los enemigos en un derroche de energía único e inútil. Si esto no bastara, mientras cava la fosa del otro, ninguno se percata de las minas que planta bajo sus mismos pies. Un detractor sostiene que el infinito actual es inadmisible y que por esto el mundo - no siendo infinito - no puede existir por sí mismo. Otro afirma: <<Claro, concuerdo con que el infinito actual no es admisible, con que es intrínsicamente contradictorio: tienen razón cundo dicen que se trata de una contradictio in adjecto. Siendo así las cosas, sin embargo... también lo Absoluto, así como el infinito, es una contradictio in adjecto. Por lo tanto, concédanme de reconocer a Dios no en cuanto ser sino solo en cuanto devenir. Él es finito en todo momento y, deviniendo continuamente en la realidad, puede decirse con justicia que es infinito, aunque solo en potencia...>>." (Florenski, 2009, pp. 59-60).

Florenski pasa a recordar que, a diferencia de lo que ocurre con los conjuntos finitos,

 las nociones de cardinal y ordinal son radicalmente distintas:

"(...) toda reagrupación de un grupo finito de miembros puede volverse otro mediante transposiciones sucesivas y, por lo tanto, todo grupo finito - siempre y cuando queden los mismos elementos - tiene solo un único tipo que ene este caso toma el nombre de <<número>> (...) De este modo para un grupo finito (...)el tipo de orden, el número, no depende del orden de los elementos sino solo del darse de los elementos mismos. (...) Siendo así las cosas, para los grupos finitos el tipo de orden y la potencia se vuelven indistinguibles; importa poco, entonces de qué se está hablando, si del tipo o de la potencia, y fue justamente esta circunstancia la que indujo a todos a error. Se quiso atribuir a toda costa la especificidad de los grupos finitos también a los grupos transfinitos, y cuando esto no resultó posible se declaró que estos últimos eran imposibles. En la mayoría de las demostraciones contra la posibilidad del infinito actual se encuentra poco más o menos la misma petitio principii.

De manera conversa, se asume la posibilidad del infinito actual, después de lo cual se aume que esta debe tener un reflejo en el espíritu, <<un número infinito>>; entonces se introducen de manera más o menos ágil en la definicón del número en cuestión las peculiaridades - o una de las peculiaridades - de los números finitos y, para concluir, se enuncia solemnemente que el <<número infinito>> es intrínsecamente contradictorio y que entonces lo es también el infinito actual. (...) Se requirieron más de treinta años de trabajo para destruir de raiz intentos de este tipo, detrás de los cuales se atrinchera el horror infiniti.

Respecto a los números finitos Cantor demuestra[1] que en estos una parte del grupo no no es nunca equivalente al grupo entero. Sin embargo, si no exigimos que el grupo sea finito <<esta suposición deja de ser exacta y aquí - dice Cantor - reside el fundamento profundísimo de la diferencia sustancial entre los números y grupos finitos y los actualmente infinitos, una diferencia que es tan grande que nos autoriza a definir los números infinitos como una serie de números completamente nueva. Desde la antigüedad matemáticos y filósofos no pudieron sobrepasar este obstáculo, y la mayor parte de ellos decidió considerar obstinadamente e inflexiblemente que esto se oponía a cualquier intento de dar pasos ulteriores en la teoría de los infinitos; es sorprendente lo obstinado que es este principio - antuguo y radicado a pesar de su mendacidad - , o sea que es una contradicción si a un grupo infinito M se le atribuye el mismo número que a una parte de M>>.[2]

(...)<<¿Desde cuándo - pregunta Cantor - es una contradicción ver que en cierta relación una parte del todo se pueda remitir al mismo "universal" que el todo?>>(...)". (Florenski, 2009, pp. 60-62).

Florenski cita extensamente las palabras de Cantor en contra de la suposición del principio de que totum est majus sua parte.

"La descripción  y la definición de grupos transfinitos radica precisamente en el hecho de que estos grupos son, por decirlo así, grupos genéricos; estos son equipotentes a algunas de sus partes y se puede encontrar siempre un parte que tenga el mismo número cardinal que el todo. <<En el no reconocimiento de esta circunstancia - dice Cantor - veo el obstáculo principal que desde los tiempos antiguos se contrapone a la introducción de los números infinitos>>[3]".  Es de recordar, sin embargo, que justamente  en esta circunstancia se define en general un grupo, y que solo como caso excepcional-específico puede resultar que entre todos los grupos compuestos por los elementos del grupo dado solo uno es equivalente a sí mismo. Este caso específico tomará el nombre de <<grupo finito>>.

El grupo finito es, entonces, uno de los casos posibles del grupo en general; este es definido de modo bastante riguroso como grupo no-transfinito, y puede ser estudiado comodamente partiendo de la idea general de grupo. Una mirada incluso solo un poco atenta descubrirá continuamente el transfinito en nosotras y en todo lo que nos rodea. La idea de infinito permea todas las otras y las coliga en una única imagen y, presuponiendo a su vez el Infinito, hace posible un conocimiento simbólico del Absoluto. (Florenski, 2009, pp. 63-64).

Florenski pasa a examinar las definiciones y fundamentos de la aritmética cardinal y ordinal tal como son presentados por Cantor (véase por ejemplo...)

[1] G. Cantor, en <<Math. Annalen>>, Bd.46, Bd.49. (Nota del Autor).

[2] G. Cantor, en <<Zeitschrift f. Phil.>>, Bd. 91, Bd. 92 (Nota del Autor).

[3] G. Cantor, en <<Zeitschrift f. Phil.>>, Bd. 91, p. 84 (Nota del Autor).

7.

Florenski desarrolla la siguiente reflexión sobre los símbolos:

" Para mostrar como Cantor construye su propia jerarquía de símbolos para el conocimiento del infinito actual es necesario aclarar brevemente el álgebra de los números transfinitos, definir qué significa cumplir tales o cuales acciones sobre estos símbolos. En general, cumplir una acción sobre un símbolo, cualquiera que sea, significa hacer un paso mental del símbolo con el que operamos a otro, de modo que el resultado del paso dependa: 1) del símbolo sobre el que se interviene; 2) de la naturaleza (genus proximum) de la operación dada; 3) de la definición específica de la operación dada diferente de cualquier otra que caiga bajo el mismo genus; esta especificación se cumple también mediante un determinado símbolo idéntico a aquel sobre el que se interviene. Por brevedad llamaré - con Schubert - al símbolo sobre el que se interviene símbolo pasivo y al símbolo que determina la acción símbolo activo. Si entonces, por ejemplo. añadimos al 3 el número 2, el 3 es será número pasivo y el 2 activo." 

No traduzco aquí las páginas siguientes, dedicadas a los fundamentos de la aritmética cardinal tal como son introducidos por Cantor en sus escritos.

Referencias 

Florenskij, P. A. (2007). Il simbolo e la forma. Scritti di filosofia della scienza, Bollati Boringhieri. 

Vargas, F. (2013), Aritmología, infinito y trascendencia: hacia el lugar de las matemáticas en la filosofía de Pavel Florenski. In F. Zalamea (Ed.), Rondas en Sais, ensayos sobre matemáticas y cultura contemporánea (pp. 61-79). Bogotá: Universidad Nacional de Colombia.