Entre el Logos y el caos. Los sueños de la razón.

“(...) de frente a la infinitud insinuante, ubicua de lo irracional, la racionalidad finita es una pura nada. Vivimos sobre un abismo de lava incandescente, ocultado a nuestra mirada únicamente por la tenue corteza de lo conocido. ¡Qué negligencia la de confiarse en la quietud de una concepción racionalista del mundo!”

(Florenski, 2022 p. 44)

¿Es la realidad abordable desde el número? Desde el Pitagorismo, esta pregunta estuvo vinculada a la más amplia indagación por el alcance del Logos en cuanto principio de pensabilidad y ordenación de lo real. El número en el pensamiento griego, como he señalado, no es concebido solo como una serie de entidades aisladas con ciertas propiedades intrínsecas, sino que revela una naturaleza relacional: los números se dan como progresiones de las que emerge la tensión entre invariancia y transformación, entre lo símil y lo disímil. Existe una referencia entre número y número que crea una comparabilidad entre ambos, de donde surgen los conceptos de razón y proporción. Similarmente, las magnitudes geométricas que emergen de las distintas construcciones no son realidades "en sí", sino "con respecto a", y así pueden leerse en buena medida los Elementos de Euclides.

Relacionalidad y mediación son la manifestación del Logos (en cuanto ley y conjunción). No es gratuito que la referencia de un número (o de una magnitud) con respecto a otro, sea su logos, su razón. Así, lo cuantificable, lo conmensurable, son paradigmas de la pensabilidad, y los límites que en estos aspectos pueden surgir serán las señales más contundentes e inequívocas de los límites de la razón.

Francisco de Goya, El sueño de la razón produce monstruos (1799).

El descubrimiento de los irracionales.

Pocos textos de la historia de la filosofía, revelan de una manera tan vívida y eficaz el estupor debido a la confrontación de nuestros propios prejuicios como aquel en que Sócrates le hace descubrir al siervo de Menón lo precipitado de sus juicios al querer duplicar el área de un cuadrado (como recuerdo en una entrada anterior). El siervo no sólo debe confrontar su idea inicial de que el área crece en proporción al lado del cuadrado, sino que, de manera más radical, es llevado a descubrir que el lado del cuadrado doble no tiene como medida un número (entero) y que no ve entonces cómo podría llegar a concebirlo o a nombrarlo. Sócrates guía entonces hacia la constatación de que el cuadrado construido sobre la diagonal del cuadrado dado es precisamente el buscado. Si bien la conversación no explicita el tema, se trata precisamente aquí de magnitudes inconmensurables: lado y diagonal de un cuadrado no tienen una "medida común", su razón no existe o, puesto en términos modernos, si consideramos que el lado mide un cierto número de unidades, la medida de la diagonal es un número irracional (si el lado mide 1, la diagonal medirá raíz de 2). Esta inconmensurabilidad, o "irracionalidad", era demostrada en el mundo griego por una elegante demostración por reducción al absurdo.

Los límites del logos que son aquí de lo numerable, lo nombrable y lo pensable. No es extraño que el "descubrimiento de los irracionales" constituyera un problema para el pensamiento antiguo. Hay numerosas leyendas respecto a cómo en la misma escuela pitagórica Hípaso de Metaponto fue expulsado de la secta o incluso que murió al ser arrojado al mar desde un barco como castigo por revelar su descubrimiento[1]. Estas anécdotas nos indican algo del impacto que pudo tener este descubrimiento, pero hay indicaciones en el mismo pensamiento antiguo de que la existencia de los irracionales fue integrada al cuadro general del pensamiento tanto filosófico como matemático.

En Platón vemos una plena conciencia de la existencia de los irracionales (por ejemplo en el Teeteto, 147d y ss.), lo cual no va en detrimento de un "optimismo epistemológico", en el sentido de una creencia en la posibilidad de conocimiento de la realidad.

Por otra parte, tenemos el desarrollo de la teoría de las proporciones de Eudoxo que vemos plenamente expuesta en el libro V de Euclides[2]. Esta sofisticada teoría, permite extender al dominio de las magnitudes inconmensurables el concepto de razón y de proporción.

Estaríamos entonces, en el pensamiento antiguo, no tanto en un sucumbir del logos en las manos de la "irracionalidad" o lo "infraracional", sino frente a una racionalidad extendida o lo "supraracional".

De lo irracional a lo supraracional: la interpretación Florenskiana

Encontramos en Florenski una amplia reflexión acerca de la verdad y la racionalidad estrechamente vinculada a las matemáticas, y a la noción de trascendencia (Vargas, 2013). El autor retoma el problema que nos ocupa y lo resume así:

"La diagonal y los lados son incomparables entre sí en la dirección de la pregunta <<cuántas veces>>; son, como se suele decir, <<inconmensurables>>. Cualquier número que tomásemos para caracterizar esta relación resultaría inutilizable. Si el lado tiene un número, no lo tiene la diagonal, y viceversa. Entre el uno y la otra se abre un abismo infranqueable para el número. La longitud de la diagonal es transcendente (utilizo este término en su sentido general, no como terminus technicus matemático) en relación con la longitud de los lados. Este hecho fue descubierto por primera vez por Pitágoras; como se sabe, el geómetra se asustó por la profundidad del hecho que se presentaba ante él y por las consecuencias que de él se derivaban. Porque solo con este hecho, y de una vez por todas, se ha asestado un golpe que ha abierto brechas irreparables en cualquier racionalismo." (Florenski, 2010, pp. 437-438).

Florenski nos recuerda cómo símbolos como el de de raíz de 2, por muchos siglos, no eran tomados propiamente como números, y que se hablaba en la Edad Media de "numeri ficti"

o "numeri surdi", como en el Liber Abaci de Leonardo di Pisa. Incluso cuando Stifel, en 1544, habla de ellos como números, dice que "irrationalis mumerus non est verus numerus" ("el número irracional no es un verdadero número").

Las operaciones aritméticas, como cualquier tipo de acciones en general, determinan un círculo de lo alcanzable por esos medios. Esta frontera, esta limitación, al ser puesta y constatada, clama por ser rota posibilitando el ir más allá.

"En el interior del círculo de operaciones que conoce la aritmética, no hay modo de salir de esta dificultad. Estas operaciones conducen a un resultado que ya no tiene sentido, a no ser que rompamos su círculo; pero si no lo rompemos la combinación respectiva perturbará la integridad del mismo círculo, provocando su interna destrucción y su vaciamiento. Así sucede en general: las operaciones del entendimiento conducen a cierto tipo de combinaciones para las cuales no existe ya espacio en el medio propio de sus factores, y que exigen la ruptura del dominio del entendimiento para nacer en un mundo nuevo, desconocido e impensable hasta este momento. La salida, en el álgebra, sólo se alcanza mediante la creación de unas substancias aritméticas que pertenecen al otro lado del mundo habitual, que son transcendentes para el círculo de las operaciones respectivas; estas substancias no pueden ya ser expresadas mediante símbolos finitos, sino que son más bien postuladas por estos últimos, se basan en ellos y les otorgan un nuevo sentido, superior." (Florenski, 2010, p. 438).

Lo que está "del otro lado del mundo habitual", fuera del círculo inicial, manifiesta un nivel de trascendencia que en este caso se da por el paso entre lo finito y lo infinito en los símbolos utilizados. Esto hay que entenderlo en el contexto de la construcción de los números reales (sistema que incorpora los irracionales a partir de los racionales) realizada paralelamente en la segunda mitad del '800 por los matemáticos Richard Dedekind y por Georg Cantor. Florenski se refiere a la construcción de Cantor, basada en el uso de sucesiones infinitas de racionales (las llamadas "sucesiones de Cauchy"), cada una de las cuales representa un real. Este recurso al infinito actual es un paso revolucionario en el pensamiento matemático y filosófico y causará una reconfiguración de toda la matemática, cambio que no fue ajeno a álgidas controversias y resistencias:

"Para que te sea comprensible la teoría de Cantor, te ruego una cosa: olvida todo lo que has oído hasta ahora sobre los números irracionales y ten en cuenta que en lo que nos ocupa es necesario crear un objeto del pensamiento completamente nuevo." (Florenski, 2010, p. 439).

Esto completamente nuevo, tiene que ver con una concepción sintética, contrapuesta a la visión analítica y atomística de la razón habitual:

"Cada número racional en particular, cada elemento, cada átomo de este agregado, tomado por sí mismo, en su sentido primario, no tiene nada en común con el todo integral (tselym) que en él se encarna, del mismo modo que la idea estética de una estatua no tiene nada en común con los cristales de mármol que componen su materia, o el sentido de un poema con los sonidos de las palabras particulares. Pero el conjunto infinito -más exactamente, suprafinito- de aquellos elementos refleja totalmente este todo integral, esta idea." (Florenski, 2010, p. 441)

Florenski nos hace una descripción de lo que son los grandes momentos de pasaje, de síntesis y de creación en cualquier ámbito: en la ciencia, en el arte, y en la vida. Es necesario para ello "romper el círculo" de lo conocido y pasar "del otro lado del mundo habitual".

Bibliografía

Bunt, Lucas N. H. , Jones Phillip S.,Bedient, Jack D. (1988) The historical roots of elementary mathematics, New York, Dover.

Florenski, P. A. (2010). La columna y fundamento de la verdad. Salamanca: Ediciones Sígueme.

Florenskij P.A. (2021) Primi passi della filosofia. Lezioni sull'origine della filosofia occidentale. Mimesis.

Kline, Morris. El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días. Alianza editorial, 2012.

Platón (1992). Diálogos II. Gorgias, Menéxeno, Eutidemo, Menón, Crátilo. Madrid: Biblioteca Clásica Gredos.

Vargas, F. (2013), Aritmología, infinito y trascendencia: hacia el lugar de las matemáticas en la filosofía de Pavel Florenski. In F. Zalamea (Ed.), Rondas en Sais, ensayos sobre matemáticas y cultura contemporánea (pp. 61-79). Bogotá: Universidad Nacional de Colombia.

Zalamea, F. (2010). Razón de la frontera y fronteras de la razón: pensamiento de los límites en Peirce, Florenski, Marey, y limitantes de la expresión en Lispector, Vieira da Silva, Tarkovski. Universidad Nacional de Colombia.

Zellini, P. (2021). Gnomon: una indagine sul numero. Adelphi Edizioni.

[1] Es incierta la atribución a Hípaso del descubrimiento de los irracionales, como su manera de morir. Incluso en Jámblico, la principal fuente antigua al respecto, encontramos distintas versiones encontradas. Proclo tampoco da confirma el carácter histórico de las leyendas que mencionamos atribuyendo a Euclides más bien la siguiente interpretación: “Los autores de la leyenda quisieron hablar por alegoría. Querían decir que todo lo que es irracional y privado de forma debe permanecer oculto. Que, si alguna alma desea penetrar en esta región secreta y dejarla abierta, entonces es arrastrada al mar del devenir y ahogada en el incesante movimiento de sus corrientes." [2] Este "está considerado como el mayor logro de la geometría euclídea; su contenido y significado se han debatido más extensa e intensamente que cualquier otra porción de los Elementos." (Kline, 2012, p.103)