Identidad y cambio, lo uno y lo múltiple en el pitagorismo

"La matemática se crea en virtud de una acción libre e independiente de la experiencia; se desarrolla desde una intuición a priori singular y básica que podría ser llamada invariancia en el cambio así como unidad en lo múltiple."

L.E. Brower

La visión que hoy tenemos de las matemáticas está inevitablemente marcada por el desarrollo de la escuela pitagórica. A pesar de lo misterioso (en todo el sentido etimológico de la palabra) que rodea a la figura de Pitágoras y a la escuela en general, podemos encontrar los fundamentos de una ciencia matemática de la naturaleza, cuyos desarrollos conducirán al desarrollo de la ciencia moderna (por ejemplo en Galileo). La influencia del pitagorismo se extenderá por todo el mundo antiguo y estará en continuidad con la filosofía de Platón en diálogos como el Timeo.

En la versión que nos presenta Aristóteles acerca del problema del arqué (en su doble acepción de "principio" y de "origen"), común a la filosofía presocrática de los "naturalistas", los pitagóricos dejarían de recurrir a elementos naturales como el agua, el fuego o el aire, para plantear "el número" como principio:

"puesto que las demás cosas, en toda su naturaleza, parecían asemejarse a los números y que los números parecían ser los primeros de toda la naturaleza, supusieron que los elementos de los números eran los elementos de todas las cosas existentes, y que todo el cielo era armonía y número." (58 B 4-5)

La "semejanza" de los números con los elementos y fenómenos de la naturaleza se conjuga a partir de distintos núcleos:

Por una parte permite desplegar la polaridad entre lo uno y lo múltiple, entre lo idéntico y lo diversificado, pues es a partir de la unidad que se genera la serie completa de los números (enteros naturales). A su vez cada número puede ser considerado como pluralidad de sus unidades constitutivas, pero que se unifican para formar un todo, lo que lleva de nuevo a la unidad.

Ligada a esta oposición, está la dicotomía entre el cambio y la permanencia (tema presente en otras escuelas como la de los eleatas y en el pensamiento de Heráclito). Lo invariante en medio de la transformación se entiende a partir de las construcciones matemáticas en las que se genera algo nuevo a la vez que algo permanece.

Lo uno y lo múltiple (una vez más)

Quizás el símbolo que mejor sintetiza el proceso de pasaje entre la unidad y la pluralidad está constituido por la década, o "la santa tetraktys" (por quien la leyenda dice que en la secta hacían los juramentos).

Tenemos ante todo que la aritmética se conjuga para los pitagóricos con la geometría (se habla de una aritmo-geometría), que lleva a que no se trate simplemente del número 10 como usualmente lo concebimos, sino de su representación y organización según un orden geométrico (en este caso un ejemplo de número triangular). Tenemos a la vez un despliegue entre el 1 y el 4 en una progresión aritmética que lleva a una recapitulación, a una unificación en el 10. Así, 1+2+3+4=10.

Según Guénon (1962), esto tendría un significado simbólico que estaría en correspondencia con los distintos niveles de la realidad: de la unidad indiferenciada (que recuerda las concepciones de los jonios sobre lo ilimitado e indistinguible del elemento primordial) a la pluralidad. A esta se llega pasando por el 2, el nivel de las oposiciones dicotómicas y el tercero del "Alma universal" y finalmente el 4: "el cuaternario es considerado siempre y en todas partes como propiamente el número de la manifestación universal; por lo tanto, a este respecto marca el punto de partida mismo de la <<cosmología>>. (...) de ahí, por ejemplo, los cuatro elementos (aquí no se cuenta el éter, pues son sólo elementos "diferenciados"), los cuatro puntos cardinales (o las cuatro regiones del espacio que le corresponden, con los cuatro "pilares" del mundo ), las cuatro fases en las que se divide naturalmente cada ciclo (las edades de la vida humana, las estaciones en el ciclo anual, las fases lunares en el ciclo mensual, etc.) y así sucesivamente (...)" (Guénon, 1962)

Los contrarios

Según los testimonios, el pensamiento pitagórico se organizaba a partir de una serie de oposiciones que manifestaban una dualidad presente en los distintos niveles de la realidad, incluída la matemática. Aristóteles (58 B 4-5) nos presenta la siguiente lista de 10 oposiciones fundamentales:

Límite e infinito

impar y par

uno y multiplicidad

derecha e izquierda

macho y hembra

en reposo y en movimiento

recto y curvado

luz y tiniebla

bueno y malo

cuadrado y oblongo

Aunque estos pueden leerse como opuestos excluyentes que llevarían a una visión dualista o incluso maniqueísta, no hay que olvidar el principio unitario que los origina, llevando a una "armonía de los contrarios" tal como la encontramos también en Heráclito. Así:

"La naturaleza en el cosmos está compuesta armónicamente de cosas ilimitadas y cosas limitantes, tanto el cosmos en su conjunto como las cosas que existen en él."

(44 B 1)

También, según Proclo:

"Ahora bien, puesto que lo Uno está más allá de la primera Década, las cosas que parecen ser contrarias se reúnen y se coordinan con miras a un ordenamiento cósmico único. En efecto, en el Todo existen los dos géneros de dioses y también los géneros contrapuestos del ser y las diversas clases de almas, así como las clases opuestas de cuerpos; pero las [clases] inferiores son dominadas por las más divinas, y el mundo único alcanza su realización al armonizarse los contrarios, habiéndose constituido <<a partir de cosas limitantes y de cosas ilimitadas>>, según Filolao. La ilimitación corresponde, por naturaleza, a las cosas ilimitadas que hay en el [mundo] y que proceden de la díada indefinida. El límite corresponde, por naturaleza, a las cosas que proceden de la Mónada inteligible. En efecto, es Dios quien ha compuesto lo mixto como dice Sócrates en el Filebo."

Vemos así que algunas de las oposiciones son de carácter matemático (entre lo impar y lo par y entre lo cuadrado y lo oblongo). Aristóteles nos describe cómo estas oposiciones están relacionadas con la representación geométrica de los números y con el uso del gnomon para construir nuevas figuras a partir de las dadas:

"Además, los [pitagóricos] dicen que lo ilimitado es lo par; este, en efecto, al ser encerrado y limitado por lo impar, provee de infinitud a los seres. Señal de esto es lo que sucede con los números: si se colocan gnómones alrededor de lo Uno, y en el otro caso separados <o sea, si son colocados de otra manera: formando no un cuadrado sino un rectángulo>, la figura que se genera es en un caso una, en otro caso diferente. Platón, en cambio, dice que son dos las cosas infinitas: lo Grande y lo Pequeño." (58 B 28)

Cambio e invariancia

Las sucesiones de figuras así construídas nos llevan a un entendimiento del número como proceso y despliegue en un devenir: "Una progresión de cantidades que toma inicio desde el uno y una regresión que termina en él" (Stobeus, en Zellini p.22)

La idea de invariancia en el cambio nos conduce a una de las grandes problemáticas detrás del desarrollo de la geometría griega: la de la construcción de figuras equivalentes desde el punto de vista del área, pero con distinta forma. Esto es recurrente en los libros I y II de los Elementos de Euclides (Véase aquí la presentación de Oliver Byrne). Vemos por ejemplo, en distintas formas, la posibilidad de construir (con regla y compás), a partir de cualquier figura poligonal, un cuadrado equivalente o un rectángulo equivalente (con un lado dado).

Tenemos también otros problemas relacionados con las áreas, como la posibilidad de componer en una solo figura las áreas de dos figuras dadas. El Teorema de Pitágoras es un ejemplo que puede leerse así.

La presencia de problemas de este tipo es sintetizada por Plutarco:

"Entre los teoremas -o, más bien, problemas- más propios de la geometría está este: dadas dos figuras, construir una tercera igual a una y similar a la otra. También dicen que en honor a este descubrimiento Pitágoras ofreció un sacrificio. En efecto, es mucho más elegante e inspirado que aquel teorema que demostró que, al cuadrarse la hipotenusa, <dicho cuadrado es> igual <a la suma de los cuadrados construidos sobre> los <lados> que rodean al <ángulo> recto."

Problemas como la cuadratura del círculo hacen parte de esta idea general de variación y permanencia. Tenemos también la contraparte: cómo preservar la forma variando el tamaño de una figura. Esto conducirá a la idea central de proporción (que espero desarrollar pronto), fundamental también en el pensamiento griego.

Del entendimiento del mundo al entendimiento de lo humano:

"Nada perece en el grande universo, y cada cosa asume un aspecto nuevo"

"nec perit in toto quicquam, mihi credite, mundo, / sed variat faciemque novat".

(Ovidio, Met, XV vv. 254-255)

Hasta aquí podemos ir viendo cómo "El número es la fuerza soberana, autogenética que mantiene la permanencia eterna de las cosas del cosmos " (DK 44 B 23, tomado de Zellini, 1999 p.26). Pero este dinamismo que genera a la vez que mantiene, es aplicable también al mundo de lo humano:

"Así, ves, son también los hombres. Uno crece, otro disminuye: todos estamos en el cambio, todo el tiempo... También tú y yo somos diferentes hoy respecto a los de ayer, y seremos diferentes en el futuro según una ley idéntica." (Epicarmo, DK 23 B 2, tomado de Zellini, 1999 p.22)

El entendimiento del alma pasará así también por una comprensión matemática ligada a las oposiciones ya citadas:

"(...) dicen, en efecto, que el alma es una suerte de armonía, pues afirman que la armonía es una mezcla y composición de contrarios, y el cuerpo está compuesto de contrarios." (44 A 23)

Estos son sólo algunos de los rasgos que muestran la peculiaridad del pensamiento griego en respecto a la visión hoy predominante. La matemática se concibe como forma de contemplación, entendimiento, de nacimiento y de trascendencia. Tal como sintetizara Simone Weil:

"Pero si la ciencia griega es ya la ciencia clásica, al mismo tiempo es igualmente algo muy distinto. La famosa fórmula de Platón, "Nadie puede entrar si no es geómetra", basta para demostrarlo. Lo que se iba a buscar cuando acudían a Platón era una transformación del alma que permitiera ver y amar a Dios; ¿quién pensaría hoy en usar la matemática con ese fin?"

Bibliografía

Byrne, O., & Oechslin, W. (2010). The first six books of the elements of Euclid: Essay by/Essay von/Essai par Werner Oechslin. Taschen.

Eggers Lan, C., & Juliá, V. E. (1978). Los filósofos presocráticos I. Madrid: Gredos.

Guénon, R (1962). Symboles fondamentaux de la science sacrée. Paris: Gallimard.

Kline, Morris. El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días. Alianza editorial, 2012.

Poratti, A., Eggers Lan, C., M.I. Santa Cruz de Prunes & Cordero, N.L.. (1980). Los filósofos presocráticos III. Madrid: Gredos.

Weil, S. (2006). Sobre la ciencia. El cuenco de Plata.

Zellini, P. (1999). Gnomon: una indagine sul numero. Adelphi Edizioni spa.