Contrario a lo que puede esperarse, la finalidad de esta entrada no es responder a la pregunta "¿Qué son las Matemáticas?" con alguna respuesta asertiva o alguna fórmula que pretenda en algún grado ser conclusiva. Me detendré en cambio brevemente en en los siguientes aspectos: (1) volver la mirada hacia la pregunta misma (2) señalar lo que revelan algunas respuestas usuales a la pregunta (3) girar en torno a otras posibles aproximaciones (4) ¿cómo han sido vistas las matemáticas en su conjunto? ¿qué mapas generales hay de la disciplina?
La pregunta por la pregunta
El famoso matemático y brillante filósofo Giancarlo Rota en What" Is" Mathematics? (Humanistic Mathematics Network Journal, 2001, 1(24), 3.) nos muestra la ambigüedad, la polivalencia de la palabra "is" ("es") en la pregunta. Para ello se remite a la tradición fenomenológica, acercándose en particular a la reflexión de Heidegger en torno a la pregunta por el significado de "ser" en Ser y tiempo (1927). Así, entenderemos esta palabra dependiendo del tipo de respuesta que nos esperamos: una definición de diccionario ("Is" as dictionary definition); la entrada de una enciclopedia ("Is" as invitation); una respuesta fácil y cómoda para quien no conoce del tema pero se quiere desembarazar de tenerse que ocupar realmente del mismo ("Is" as copout). También encontramos otras aproximaciones al tipo de respuesta: la del profesor que se desembaraza de la pregunta impertinente del alumno ("Is" as escape); la del eminente matemático que desde la altura de su carrera intenta reflexionar sobre su disciplina ("Is" as summing up). Rota argumenta ("Is" as impossibility) que no es posible ofrecer una respuesta del tipo "las Matemáticas son..." (mathematics is...) sugiriendo que "matemáticas" no es un ítem, sino que al igual que "ser", "tiempo", "nada" y "mundo" es un término pre-ontológico:
La palabra “es” usada como cópula en “A es B” presupone un contexto de construcción de sentido. A sólo puede ser B dentro de un fondo de características no tematizadas que normalmente se pasan por alto en silencio. Más formalmente: el “es” de “A es B” presupone un contexto dentro del cual el “es” puede “ser”. Por ejemplo, “silla” presupone un contexto de cotidianidad en el que las sillas son útiles. Ningún elemento puede “ser” sin algún contexto de fondo. “Ser” es “ser-en-un-contexto”.
Por lo tanto:
Ninguna “definición” del término “matemáticas” puede describir ese contexto particular que llamamos matemáticas. La matemática no es un ítem que compartan ciertos contextos. La matemática es la condición de posibilidad de los contextos matemáticos. No podemos explicar lo que “es” la matemática con oraciones de la forma “A es B”, donde A y B son elementos, porque la matemática “no es” nada.
Sin, embargo, a pesar de lo anterior, Rota concluye la pregunta “¿Qué son las matemáticas?” no es completamente carente de sentido, sino que puede remitir al estado de asombro o estupor de quien se adentra en ellas:
La pregunta “¿Qué son las matemáticas?”se plantea a veces, tanto por el estudiante como por el matemático maduro, para expresar un sentimiento de asombro, para significar el extrañamiento que a veces nos posee, el mismo extrañamiento que se siente en la contemplación del cielo estrellado y de la ley moral, descrita por Kant al comienzo de su “Crítica de la razón práctica”. Este sentimiento de asombro enajenado es la apertura a la investigación filosófica, como Aristóteles fue el primero en señalar. La pregunta “¿Qué son las matemáticas?” puede expresar el sentimiento de asombro ante la contemplación del impresionante edificio de las matemáticas.
Visiones convencionales e institucionalizadas
Las definiciones más tradicionales de las matemáticas, revelan una tendencia bastante limitada que refleja (o en el que es reflejado) el ideario común sobre la disciplina (lo puramente calculístico). Aquí en su forma más cruda:
“Ciencia que trata de la cantidad” (DRAE, 1914)
Según Peirce (Peirce, 2010, p. 25), esta definición se remontaría a Boecio y se traduciría para los estudiosos romanos (quienes se remiten a los pitagóricos y a la República de Platón) en que las matemáticas estarían conformadas por la Aritmética, la Geometría, la Astronomía y la Música, es decir, por el Quadrivium medieval. Pero se trataría, para Peirce, de una definición insuficiente para abarcar áreas de la Matemática que no se refieren a la cantidad, como la geometría proyectiva.
Más recientemente, encontramos:
“the abstract science of number, quantity, and space.” (Oxford american dictionary)
“Ciencia deductiva que estudia las propiedades de los entes abstractos, como números, figuras geométricas o símbolos, y sus relaciones.”(DRAE, 2001)
Esta última definición trata de ser más elaborada que la de 1914. Vemos también un énfasis en la "abstracción" en una tradición que se remonta también a Platón. Sería esto lo más distintivo de los "entes matemáticos" en combinación con su carácter "deductivo".
Apuntes para una caracterización.
Retomando la reflexión de C.S. Peirce en (Peirce, 2010), vemos las anotaciones que hace a la definición de su padre, Benjamin Peirce:"La Matemática es la ciencia de extraer conclusiones necesarias”. Peirce (hijo) complementa este carácter necesario de las conclusiones con su contraparte, el hecho de que las matemáticas exploran los distintos ámbitos de lo posible en el sentido de que se trata de una ciencia hipotética:
"Mathematics is, therefore, the study of the substance of hypotheses, or mental creations, with a view to the drawing of necessary conclusions." (p.4)
Esta dicotomía entre lo posible y lo necesario capturada por Peirce, apunta también hacia aquella que hay entre el aspecto deductivo/formal y su contraparte, el aspecto creativo/libre. Culturalmente se ha tendido a ver el primer aspecto y no el segundo. Este es rescatado, por ejemplo, por Georg Cantor, el creador de la teoría de conjuntos, quien famosamente dijo: “La esencia de las matemáticas reside en su libertad."
Me interesa resaltar, finalmente, la siguiente idea de Florenski en su manera de concebir las Matemáticas. Estás son, para el pensador ruso “…el presupuesto primero e indispensable para nuestra concepción del mundo”. Esta idea se acerca al carácter pre-ontológico de las matemáticas que señalaba Rota. Las matemáticas son aquello que de la manera más fundamental nos permite tener una visión del mundo en un sentido unitario, y aquello dentro de lo cual podemos llegar a comprender las entidades, las cosas, "los ítems" del mundo.
Cartografías.
¿Cómo vemos las Matemáticas en su conjunto?
En Español, a diferencia de otros idiomas, se usa tanto "la Matemática" en singular, como "las Matemáticas" en plural. Esta dualidad nos permite aludir tanto al carácter unitario de la disciplina, como a su diversidad interna, su despliegue en múltiples "ramas". Veamos algunos mapas. Un mapa nos permite ver tanto la unidad como la diversidad de un territorio, así como sus características topológicas (por ejemplo su grado de conexidad o la existencia de vecindades). Podemos también añadir coordenadas que nos permitan ubicar un lugar según diferentes criterios.
Tenemos, por ejemplo, la clasificación del quadrivium a la que ya aludimos. Vemos una clara división en los cuatro campos, aquí en el siguiente orden: Geometría, Aritmética, Astronomía y Música. Siguiendo a Proclo, tenemos una organización según dos polaridades: lo continuo vs. lo discreto ("la magnitud" vs. "la cantidad"), izquierda y derecha en la horizontal y la quietud vs. el cambio, arriba y abajo en la vertical:
Vale la pena comparar el anterior con el siguiente esquema, elaborado por el eminente matemático René Thom (medalla Fields, 1958) para la Esciclopedia Einaudi (Turín, 1977):
Más allá de la diversificación y nuevos desarrollos de las Matemáticas contemporáneas, nótese que la contraposición discreto/continuo (que el autor define como "la aporía fundadora de las Matemáticas") sigue apareciendo en el eje horizontal. En la vertical encontramos la contraposición "generatividad libre" vs. "generatividad ligada". Fernando Zalamea subraya cómo "el corazón de las matemáticas" estaría constituído por la teoría de funciones de variable compleja, aquí en el lugar central.
En cuanto a cómo se han ido originando y ramificando nuevos campos de la Matemática, podemos ver que de las cuatro ramas que había para Pitágoras o para Platón, pasamos a las siguientes en el siglo XIX, según la clasificación editorial de una de las grandes revistas del momento:
En cuanto a desarrollos más recientes, encontramos la siguiente clasificación (versión del 2020), ampliamente hoy en todo el mundo:
Pasamos entonces a 97 categorías principales con cientos de subcategorías. El listado completo consta de 151 páginas (!).
Para concluir, ya en juego, está este otro "mapa" de "Matematistán":
Referencias
Peirce, Charles Sanders (2010). Philosophy of Mathematics: Selected Writings. Ed. by Matthew Moore. Indiana University Press.
Las matemáticas permiten abarcar conceptos inherentes al aritmética geometría pitagórica lo que lleva a representar a la geometría. estableciendo numerosas combinaciones asociadas entre el arte, las operaciones, las propiedades y las figuras las cuales pueden llegar a atribuir a varias definiciones vinculadas a principios tanto filosóficos como artísticos. Es altamente significativo explorar la experiencia visual y subjetiva de estas pues dentro de la existencia de las distintas corrientes artísticas como geométricas se puede entender como se estrechan las antinomias filosóficas lo que puede fomentar el desarrollo del pensamiento abstracto, la gran influencia de la antinomia como reconocimiento de las matemáticas y el surrealismo como una antinomia filosófica. Es vital comprender los elementos que comprenden a la aritmética, aquella rama…
Me gustaría resaltar algunos de los elementos que identificar en el artículo en cuanto a su relación con la ecología. En primer lugar, la idea de que las matemáticas son "la condición de posibilidad de los contextos matemáticos" lo relaciono con la ecología en la medida las matemáticas a menudo proporcionan las herramientas necesarias para comprender y modelar fenómenos ecológicos complejos. Por ejemplo, los modelos matemáticos se utilizan en ecología para estudiar poblaciones de especies, flujos de energía en ecosistemas y cambios en el clima.
La noción de que las matemáticas son tanto deductivas como creativas también es relevante para la ecología. En la investigación ecológica, las matemáticas se utilizan tanto para desarrollar teorías deductivas como para abordar problemas prácticos…
Yo creería que la disyuntiva entre oposición y complementariedad no sería tanto algo específico de las matemáticas sino que se trata de algo más amplio. A mi modo de ver tenemos (por lo menos en el mundo moderno) una tendencia bastante generalizada a pensar "por oposiciones" y a menudo de manera excluyente. Nuestra idea es ver eso aplicado a la visión de las matemáticas. Por ejemplo, las vemos como algo absolutamente estático y cerrado ignorando los factores de evolución, de cambio y de historicidad.
La pregunta sobre el "ser" de las matemáticas, puede resultar un enigma complicado, especialmente considerando los resultados tangibles que ha proporcionado a lo largo del tiempo. Por esta razón, la intersección entre los intereses de los investigadores y las necesidades cambiantes de cada periodo son difíciles de señalar, como señaló el historiador Herbert Butterfield.
Es innegable que las matemáticas han desempeñado un papel esencial en el progreso humano, ofreciendo las herramientas conceptuales y técnicas necesarias para una amplia gama de aplicaciones científicas y tecnológicas. Sin embargo, la utilidad de las matemáticas ha variado a lo largo de la historia y se ha entrelazado con los imperativos culturales y económicos de cada lugar. En este sentido, es fundamental reconocer que la…
Es claro que la pregunta por la definición de las matemáticas es más bien un problema interesante que algo que demande respuesta delimitada. Quizás al preguntar lo que se está haciendo es un intento de cercamiento disciplinar, epistemológico, incluso profesional. Eso es muy posible, sin embargo, creo que no es lo importante. Pienso que la pregunta tiene una motivación más llamativa, se pregunta qué es algo para intentar sacarlo de la historia, para momificarlo decía Nietzsche, para intentar agarrarlo de un solo golpe. Entonces, el impulso por la definición pretende borrar las contrariedades, limar los bordes, dar su lugar a lo incomodo, en definitiva armonizar. Así que, ese intento de definición, podría entenderse como la aspiración a verlo todo desde…